3.4基本不等式第一课时

3.4 基本不等式第1课时(熟悉基本结构)a b ab 2

ICM2002会标

赵爽：弦图

D b G A H

D

a 2 b2FE a a C A E(FGH) b C

B

B

基本不等式1: 一般地，对于任意实数a、b,我们有 2 2

a b 2ab

当且仅当a=b时，等号成立。

基本不等式2:

a b ab (a 0, b 0) 2当且仅当a=b时，等号成立。注意：

(1)一正(整数)、二定(定值)、三取等(a=b)( 2)

aba b 2

称为正数a、b的几何平均数

称为它们的算术平均数。

基本不等式的几何解释：

D

A

a

C

b

B

半弦CD不大于半径

E

范例讲解例1 已知x、y都是正数，求证： 证明: x 0, y 0 y x (1) 2 y x 0, 0 x y x yy x y x 2 2 x y x y

巩固练习：3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y x 的最小值是 2 3 . x 2 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 小 值 . 12 x 3

基本不等式2:

a b ab (a 0, b 0) 2当且仅当a=b时，等号成立。

注意： 一正(整数)、二定(定值)、三取等(a=b)

2、下列结论正确的是( B ) A、当 x 0 且 x 1 时， lg x

1 2 lg x

B、当 x 0 时 ， x

1 2 x

C、当 x 2 时 ， x 的最小值为 2

1 x

D、当 0 x 2 时 ， x 无最大值

1 x

求函数的最值例2:已知x > 0,求

3 f ( x) x 的最小值。 x3 的最小值。 f ( x) x x 2

变式1:若x > 2,求

变式2:若x < 0,求

3 f ( x) x 的最大值。 x

4 变式 5 求函数y sin 其中 (0, ] sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4, 函数的最小值为4。用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

3 ( x 2) 例3.已知函数 f ( x) x x 2求函数的最小值.

,

用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件.

应用问题例4(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所

用篱笆最短。最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多 少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

1 例5.已知函数 f ( x) x x 最小值和此时x的取值.

,求函数的

运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件.

作业1.课本：第100页A组1、2题 2.学评：第79-80

均值不等式的变形1 例5、已知：0<x< ,求函数y=x(1-3x)的最大值 3

分析一： 原函数式可化为：y=-3x2+x, 分析二：∵3x+1-3x=1为定值，且0<x< 1 则1-3x>0;

1 可用均值不等式法 ∵0<x< ,∴1-3x>0 3 1 3x 1 3x 1 ∴y=x(1-3x)= 3x(1-3x)≤3

3

当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y

6

1 ma

x= 12

3

(

2

1 ) 122

巩固练习：3 1 1.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 4 ,此时x= 2 5 25 5 2.若 0 x ,当x = 4 时, y = x(5 – 2x)有最大值 8 2. .