机械振动学习题解答2012-4(3)

111m

d4 r4,J0 mr2 2 I0。 3222 r

而振型函数Q(x)满足Q(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k 式中J0 I0，因为I0 ②式代入①式得 二式联立得频率方程

②

kI0C IsD, kI0(C DtankL) Is(D CtankL)

tankL

2kI0/Is

222

kI0/Is 1

③

当Is<<I0时，轴的惯性矩可忽略，相当于两端自由的两圆盘扭振系统（类似于课本p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其

1 kt kt 1

0，其中kt GIs/L为圆轴的扭转刚 J0 2 ktkt 2 kt J0 2 kt2

0度。其特征方程为，可得，J 2kt。

00212

ktkt J0 J0

微分方程为

而此时③式左边tankL kL

2kI0/Is2Is ，所以2

k2I0/Is2kI0 I0 2 2GIs/L，即J0 2 2kt，且 2

2GIs

0，与圆盘扭振系统的频率吻合。

LI0

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.3 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sinωt施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为ρ。 解：设稳态响应为 (x,t) Q(x)sin t。 边界条件： 所以 而Q(x)满足 ②式代入①式得 所以振型函数 稳态响应

(0,t) 0, GIp

(x,t)

T0sin t x x L

Q(0) 0, GIpQ (L) T0

① ②

Q(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k C 0, GIpDkcoskL T0

Q(x)

T0

sinkx

GIpkcoskL

T0

sinkxsin t

GIpkcoskL

(x,t)

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.4 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。 解：（首先进行自由振动分析。） 振型函数 边界条件 ①式代入②式得 所以振型函数为

（再进行受迫振动分析。） 微分方程

Y(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k Y(0) 0, Y(l) 0 C 0, sinkl 0

① ② ③

Yn(x) Cnsinknx, kn n /l

2y 2yl

2 T2 P (x ) t x2

n 1

设响应y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x) sinknx, kn n /l。于是