用matlab求解差分方程

差分方程 matlab

Matlab求解差分方程问题 用Matlab求解差分方程问题

一阶线性常系数差分方程

高阶线性常系数差分方程

线性常系数差分方程组

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差分方程是在离散时段上描述现 实世界中变化过程的数学模型

例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ， 现存入M元，问年后的本金与利息之和 是多少？ Xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2

以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为

xn = (1 + r ) M

n

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污水处理厂每天可将处理池的污水浓度 降低一个固定比例q，问多长时间才能将 污水浓度降低一半？ 记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污 水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2, 从k=0开始递推n次得

cn = (1 q) c0

n

以cn=c0/2代入即求解。

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一阶线性常系数差分方程

濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好

自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中 等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只 鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。

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模型建立

记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为

xk+1=(1+r)xk k=0,1,2

已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况

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Matlab实现

首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end

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在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)'; >> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])

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利用plot 绘图观察数量变化趋势

可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型

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plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图 plot(k,y2,':') >> plot(k,y2,'--') >> plot(k,y2,'r') >> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':') >> plot(k,y2,k,y1,':')

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人工孵化是挽救濒危物种的措施之一， 如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在 中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化

Xk+1=aXk +5 ,a=1+r

如果我们想考察每年孵化多少只比较合 适，可以令

Xk+1=aXk +b ,a=1+r

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function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; X=100; For k=1:n X(k+1)=a*x(k)+b; end

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k=(0:20) ; %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 round( [ k ’, y 1 ’] ) 对k,y1四舍五入，但 是 不改变变量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以 也可以观察200年的发展趋势，以及在较差 条件下的发展趋势，也可以考察每年孵 化数量变化的影响。

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一阶线性常系数差分方程的解、 一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性

x

k +1

= ax

k

+ b

自然环境下,b=0 人工孵化条件下

x

k

= a

k

x

0

x k = a k x0 + b (1 + a + L + a k 1

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