数学史读后感(6)

说明：①当f(n) c或f(n) an b时，上述三种方法都可以用；

②当f(n) n2时，若用方法1，构造的等比数列应该是 an pn2 qn r 而用其

他两种方法做则都比较难．

③用迭代法关键是找出规律，除含a1外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问

题．

2．an p(an 1)q型 例如：已知an

1a

（2003年江苏卷22题改编） (an 1)，首项为a1，求an．

2

方法1：两端取常用对数，得lgan 2lgan 1 lga， 令bn lgan，则bn 2bn 1 lga，转化如上面类型的． 特别的，a=1，则转化为一个等比数列．

方法2：直接用迭代法：

an

1a an 1

2

1a

(

1a

an 2)

22

a2n 111 22211 2 2n 22n 1

()a ()a1 a(1)．

aaa

四．f(Sn,an) 0型的

利用an Sn Sn 1,(n 2)转化为g(an,an 1) 0型，或h(Sn,Sn 1) 0型 即混合型的转化为纯粹型的．

n

例如： 已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1),n 1． (Ⅰ)写出数列 an 的前3项a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列 an 的通项公式．

n

分析：Sn 2an ( 1),n 1.

-① -②

由a1 S1 2a1 1,得a1 1.

由n 2得，a1 a2 2a2 1，得a2 0 -③ 由n 3得，a1 a2 a3 2a3 1，得a3 2 -④

n 1

用n 1代n得 Sn 1 2an 1 ( 1)

-⑤ --⑥

n

n

①—⑤：an Sn Sn 1 2an 2an 1 2( 1) n

即an 2an 1 2( 1)

n 1

an 2an 1 2( 1)

n

22an 2 2( 1)

2( 1)

n

2an 2 2( 1)

22n 1

2( 1)

n

2

n 1

a1 2

n 1

( 1) 2

n 2

( 1) 2( 1)

2

23

2

n 2

( 1)

n 1

-⑦

又如：数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1 1,an 1 证明：数列{

Snn

是等比数列．

n 2n

Sn,

n 2n

Sn(n 1,2,3 ).

方法1∵an 1 Sn 1 Sn,an 1

∴ (n 2)Sn n(Sn 1 Sn), 整理得 nSn 1 2(n 1)Sn, 所以

Sn 1n 1

2

Snn

. 故{

Snn

是以2为公比的等比数列.