广东省深圳市南山区2011-2012学年高二下学期期末(4)

广东地区高二数学期末考试题

f(k+1)=f(k) (1 ak+1)=

=

k+22(k+1)

(k+1)(k+3)(k+2)

2

k+22(k+1)

[1

1(k+2)

2

]

k 32(k 2)

(k 1) 22[(k 1) 1]

， ……12分

即当n=k+1时，等式f(n)=n+2也成立， ……13分

2(n+1)

由①、②知对任意正整数n，f(n)=n+2都成立. ……14分

2(n+1)

19、(本小题满分14分) 解：(1) f′(x)=－3x2+2ax， 据题意，f (1)=tan

2

π4

－3+2a=1，即a=2. …… 2分 =1，∴

43

) ……3分

43

∴f (x)= 3x+4x= 3x(x 令f′(x)>0，得x(x

43

) 0，即0 x

43

；

∴f (x)的单调递增区间是[[0，]， ……4分 令f′(x)<0，得x(x

43

)>0，即x<0或x>

43

43

，

单调递减区间是(－∞，0]，[，+ )， ……5分 故函数f(x)的极小值为f(0)=－4， ……6分 函数f(x)的极大值为f()

3

f (x)= 3x(x (2)∵

2a3). 4

7627

. ……7分

①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，从而f (x)在(0，+∞) 上是减函数. 又f (0)=－4，则当x>0时，f (x)<－4.

∴当a≤0时，不存在x0>0，使f(x0)>0. ……10分 ②若a>0，则当0<x<从而f(x)在(0，

2a3

2a3

2a3

时，f′(x)>0，当x>

2a3

时，f′(x)<0.

]上单调递增，在[，+ )上单调递减.

3

∴当x∈(0，+∞)时，f(x)max=f(

4a

3

2a3

)=

8a

27

+

4a9

3

4=

4a

3

27

4，

据题意，

27

4>0，即a>27，∴a>3. 故a的取值范围是(3，+∞).

3