广东省深圳市南山区2011-2012学年高二下学期期末(5)

广东地区高二数学期末考试题

……14分 20、(本小题满分14分) 解：(1)f (x)=

lnxx

2

，∵x≥1，∴lnx≥0，故f(x)在[1，+∞)递减.

……3分

(2)f(x)

kx 1

(x 1)(1 lnx)

x

k，

记g(x)=

(x 1)(1 lnx)

x

， …… 5分

x lnxx

2

∴g (x)=

[(x 1)(1 lnx)] x (x 1)(1 lnx)

x

2

，

再令h(x)=x－lnx，则h (x)=1

1x

，∵x≥1，则h′(x)≥0，

∴h(x)在[1，+∞)上递增， ∴[h(x)]min=g(1)=2，从而则g′(x)>0， 故g(x) 在[1，+∞)上也单调递增，∴[g(x)]min=g(1)=2，∴k≤2. ……8分 (3)方法1 由(2)知：f(x)

2x 1

恒成立，即lnx

2n(n 1)

x 1x 1

1

2x 1

1

2x

.

令x=n(n+1)，则lnn(n 1) 1

21 2

， ……10分 ，ln(3 4) 1

23 4

∴ln(1 2) 1 ，ln(2 3) 1

22 3

，

……12分 lnn(n 1) 1

2n(n 1)

2

，叠加得，

11 2

12 3

1n(n 1)

ln[1 2 3 ... n(n 1) n 2(

1(n 1)

1n 2)

22

... )

n 2(1 ) n 2 n 2，

∴1×22×32×…×n2(n+1)>en-2，

故[(n+1)!]2>(n+1)en-2，(n∈N*). …… 14分

方法2：用数学归纳法证明(略)，依步骤酌情给分.