DA9_4重积分的应用

第四节 重积分的应用一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法 用微元分析法 (元素法 元素法) 元素法 从定积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、 定出积分限、计算要简便

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一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为

V = ∫∫ f (x, y)dxdyD

占有空间有界域 的立体的体积为

V = ∫∫∫ dxdydz

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例1. 求曲面

任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V . 的切平面方程为 解: 曲面 S1在点2 2 z = 2x0 x + 2y0 y +1 x0 y0

它与曲面

的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为 记所围域为D (x x0 )2 + ( y y0 )2 = 1 (记所围域为D )

∴ V = ∫∫ [ 2x0 x + 2 y0 y +1 x02 y02 x2 y2]d x d yD

= ∫∫ [ 1 ( (x x0 )2 + ( y y0 )2 ) ]d x d y令 x x0 = r cosθ , y y0 = r sinθD

= π ∫∫ r r d r d θ = π ∫2 D

2π

0

dθ ∫

1 3 r dr 0目录 上页

=

π2返回 结束

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求半径为a 例2. 求半径为 的球面与半顶角为α 的 内接锥面所围成的立体的体积. 内接锥面所围成的立体的体积 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为2a

zM

0 ≤ r ≤ 2a cos : 0 ≤ ≤α 0 ≤ θ ≤ 2π则立体体积为

α o y x 2 d v = r sin dθ d dr

r

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dθ 0

2π

∫0 sin d ∫3

α

2 a cos 2 r dr 0

=

3 α 16π a

3

∫0

4π a cos sin d = (1 cos4 α ) 33机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲面的面积z设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M(x, y, z) 无限积累而成. 处小切平面的面积 d A 无限积累而成 设它在 D 上的投影为 dσ , 则

r γ nS

M

dσ = cosγ d Acosγ =

o xn

dσ y

1 1+ f x2 (x, y) + f y 2 (x, y)2 2

z

γ

d A= 1+ f x (x, y) + f y (x, y) dσ(称为面积元素 称为面积元素) 称为面积元素机动 目录

dA M dσ

γ

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故有曲面面积公式

A= ∫∫A= ∫∫

D

1+ f x2 (x, y) + f y2 (x, y) dσ z 2 z 2 1+ ( ) + ( ) d x d y x y

即

D

若光滑曲面方程为 x = g( y, z) , ( y, z) ∈ Dy z ,则有

Dy z

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若光滑曲面方程为 y = h (z, x) , (z, x) ∈ Dz x , 则有

A= ∫∫ Dz x

y 2 y 2 1+ ( ) + ( ) d zd x z x且 则

若光滑曲面方程为隐式

Fy Fx z z = , = , x Fz y Fz

(x, y) ∈ Dx y2

∴ A = ∫∫ Dx

y

Fx + Fy + Fz2 2

Fz

dxd y

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例3. 计算双曲抛物面 出的面积 A .

被柱面

所截

解: 曲面在 xoy 面上投影为D : x2 + y2 ≤ R2 , 则

A = ∫∫

D

1+ zx + z y dxdy2 2

= ∫∫=∫0

D

1+ x2 + y2 dxdydθ ∫R 0

2π

1+ r 2 r dr

3 2 2 2 = π [ (1+ R ) 1) ] 3

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的球的表面积. 例4. 计算半径为 a 的球的表面积 方法1 利用球坐标方程. 解: 方法 利用球坐标方程 设球面方程为 r = a 球面面积元素为z

asin

a sin dθ dθ

d A= a2 sin d dθ∴π 2 2π A= a dθ sin d 0 0 2

ox

a

ad y

∫

∫

θ

= 4π a

方法2 利用直角坐标方程. 方法 利用直角坐标方程

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设有一高度为(时间)的雪堆， 例. 设有一高度为(时间)的雪堆，在融化过程 中，其侧面满足方程

长度单位为厘米，时间单位为小时)。 )。已知体积 (长度单位为厘米，时间单位为小时)。已知体积 减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9), ),问 减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 ),问 高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时。 厘米的雪堆全部融化需多少小时。 高度为 厘米的雪堆全部融化需多少小时

三、物体的质心设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k = 1, 2, L, n ) , 由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,

∑xk mk为

n

x=

k =1 n

∑yk mk, y=k =1 n

n

∑zk mk, z=k =1 n

n

∑mkk =1

∑mkk =1

∑mkk =1

设物体占有空间域 , 有连续密度函数 公式 , 即:机动 目录 上页 下页 返回

则

大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 采用 “大化小 常代变 近似和 取极限” 可导出其质心

结束

小块, 将 分成 n 小块 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 的质点 此质点

系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 例如

∑ξk ρ (ξk ,ηk ,ζ k ) vkx≈k =1 n

n

∑ρ (ξk ,ηk ,ζ k ) vkk =1

令各小区域的最大直径 λ → 0,即得

∫∫∫ xρ (x, y, z) d x d y d z x= ∫∫∫ ρ (x, y, z) d x d y d z机动 目录 上页 下页 返回 结束

同理可得

∫∫∫ yρ (x, y, z) d x d y d z y= ∫∫∫ ρ (x, y, z) d x d y d z ∫∫∫ zρ (x, y, z) d x d y d z z= ∫∫∫ ρ (x, y, z) d x d y d z, y=

则得形心坐标： 当ρ (x, y, z) ≡ 常数时, 则得形心坐标：

x= z=

∫∫∫ xd x d y d z ∫∫∫ V zd x d y d z V

∫∫∫ yd x d y d zV

,

( V = ∫∫∫ d x d y d z 为 的体积 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有

则它的质心坐标为

∫∫D xµ (x, y)dxdy M y x= = ∫∫D µ (x, y)dxdy M ∫∫D yµ (x, y)dxdy Mx y= = ∫∫D µ (x, y)dxdy M的形心坐标: ρ = 常数时, 得D 的形心坐标

Mx — 对 x 轴的静矩

M y — 对 y 轴的静矩

x=

∫∫D x dxdyA

, y=

∫∫D ydxdyA

(A 为 D 的面积 的面积)机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 求位于两圆 的质心. 的质心

和

之间均匀薄片

y

解: 利用对称性可知 x = 0 1 y = ∫∫ ydxdy 而 A D 1 = ∫∫ r 2 sinθ drdθ 3π D

4

C2 D

o

x

4sinθ 2 1 π 56 π 4 r d r = ∫ sin θ dθ = ∫ sinθ dθ ∫ 2sinθ 3π 0 9π 0

56 π 2 4 56 3 1 π 7 = 2∫ sin θ dθ = 2 = 0 9π 9π 4 2 2 3机动 目录 上页 下页 返回 结束