勒贝格积分是实变函数论的中心课题

勒贝格积分是实变函数论的中心课题,由法国数学家勒贝格提出。它是黎曼积分的推广与发展,是一种新型积分理论。黎曼积分在历史上曾经发挥了巨大的作用,它对于处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的,但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望来说是不够用的。勒贝格积分理论不仅蕴涵了黎曼积分所达到的成果,而且还在较大程度上克服了后者的局限性。相对于黎曼积分而言,勒贝格积分处理一些问题是相当灵活与自然的。勒贝格积分产生后,就拥有了黎曼积分无可比拟的优越性。L-可积函数的范围广

L-可积函数的范围比R-积分广主要体现在L-积分蕴涵了R-积分,有下述定理。

引理1若f(x)是定义在[a,b]上的有界函数,则f(x)在[a,b]上是R-可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点集是零测度集。

定理1定义在有限区间[a,b]上的函数若为R-可积,则必L-可积,且积分值相等。即

(R)

b

a

f(x)dx=(L)

b

a

f(x)dx

证明:由题设及引理1,在[a,b]上几乎处处连续,因此

f(x)是[a,b]上的有界可测函数,f∈L(z)。其次对[a,b]的任意分划Δ:a=x0<x1 <xn=b,根据L-积分的可加性质有

f(x)dx

i

n

f(x)dx记Mi,mi分别为f(x)在[xi-1,xi]上的上、下确

i 1xi 1,xi

界,得mi(xi xi 1)

xi xi 1

n

n

f(x)dx Mi(xi xi 1) i 1,2 ,n,

从而得知

m(x x

i

i

m

i 1

) f(x)dx Mi(xi xi 1)

i

m

于是上式右端对一切分划Δ各取上下确界立即得到:

f(x)dx

i

b

a

f(x)dx f(x)dx

a

b

这说明f(x)在[a,b]上的R-积分与L-积分是相等的,反之L-可积的函数未必R-可积。

2L-积分与极限的交换容易实现

积分与极限的交换问题在L-积分范围内得到比R-积分范围内远为完美的解决,具体体现在控制收敛定理上。 引理2

设是非负可测函数列,

i

E

limfn(x)dx lim Efn(x)dx

n

n

i

定理2设可测函数列{fn(x)}满足下述条件:fn(x)的极限存在,limn→∞fn(x)=f(x),且有可积函数g(x)使fn(x)≤g(x),那么,f(x)可积且有

i

E

f(x)dx limx Efn(x)dx

n

i

说明:控制收敛定理是比R-积分更加广泛而有用的收敛定理,它在函数论、微分方程与概率论中是极为重要的工具。对R-积分来说有一个致命的弱点,就是在求函数列的积分的极限时,极限号与积分号换序的条件太强,一般都要求函数列一致收敛。若不满足这个条件,函数列的极限的积分就可能不等于函数列的积分的极限,甚至函数列的极限不可积。然而关于L-积分,对函数列要求就宽的多。控制收敛定理的创立显示出L-积分理论的极大优越性。

证明:构造g(x)+fn(x)≥0由引理2得即

i

E

lim(g(x) fn(x))dx lim (g(x) fn(x))dx

n

n E

E

(g(x) fn(x))dx g(x)dx lim fn(x)dx

E

n E

n E

f(x)dx lim (g(x) fn(x))dx

E

左边 右边 即

E

g(x) f(x)dx

E

E

g(x) lim fn(x)dx g(x) lim fn(x)dx

n E

E

n E

n E

E

f(x)dx lim fn(x)dx

n E

由前面知lim

fn(x)dx f(x)dx lim fn(x)dx

E

n E

n E

f(x)dx lim fn(x)dx

E

3

微积分基本定理的应用范围广

L-积分比R-积分优越的第三方面体现在微积分基本定理

b

a

f(x)dx f(x)-f(a)(x∈[a,b])这一公式上。这一公式的应用在R-积分意义下有较大的局

限性。数学分析中通常在f(x)有连续导数的假定下去证明上述公式,或者将条件减弱些,但总要求f、(x)为R-可积才行。然而在L-积分中对有界函数来说这一困难是不存在的,在f(x)是有限值但无界的情形只要是可积的,基本定理仍是成立的。这说明f、(x)在≤L-可积的条件下可进行讨论,主要体现在以下定理。

引理3设为[a,b]上的单调函数,则它在该区间上几乎处处有有限导数。 定理3设是区间[a,b]上定义的增函数,则f、(x)可积,且有

b

f(x)dx f(b) f(a)

这个定理阐述了对于L-积分,只要所给函数是单调的,则它的导函数就是可积的。从而克服了在R-积分中“f、(x)必为R-可积”的局限性。

证明:不失一般性,可扩大定义区间[a,b]为[a,b+1],并令(x)

f(x),a x b

f(b),a x b 1

因为与的导函数的可积性相同,且可积时的积分值也相同,所以用f代替f来讨论。由引理3

知f几乎处处存在有限导数,且单调增函数显然可测,并有f、(x)=limn→∞n[f(x+1n)-f(x)]也可测,序列{n[f(x+1n)-f(x)]}是非负的,则有

a b

f(x)dx limn

n

1

[f(x f(x)]dx na b

由于单调函数(有界)R-可积,因而L-可积,(3)式右边积分化为R-积分,简单的平移变换给出， 因而

11b

[f(x ) f(x)]dx [f(x ) f(x)]dx a nn b

b

b

f(x)dx

a

a

f(x)dx

a 11

f(b) f(x)dx [f(b) f(a)]

ann

4比起R-积分来,L-积分向前迈进了一大步。L-积分的优越性除了以上三个方面以外还体现在

其他一些方面。其中在传统的关于二重积分与累次积分的恒等性定理上,R-积分也反映出了它的不足之处,已经发现了使该定理不成立的例子,从而作为一个结论,这一定理的传统说法必须修改,然而在把积分推广于无界函数的情形这一修改变得更加严峻,对此,勒贝格的重积分理论,使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了,所以对L-积分还有待于深入的探讨和研究。