2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量(7)

a

a 【提示】 这两个向量的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0，反之成立．即a ∥

b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

探究2 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？

【提示】 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．

已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行

时它们是同向还是反向？

【精彩点拨】 由a ，b 的坐标→求k a ＋b ，a －

3b 坐标→

由向量共线的条件列方程组→求k 的值→判断方向

【自主解答】 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)

＝(k －3,2k ＋2)，

a －3

b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，

使k a ＋b ＝λ(a －3b )．

由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，

得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13

. 即当k ＝－13

时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13

(a －3b )， ∵λ＝－13

＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二：由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，

a －3

b ＝(10，－4)．

∵k a ＋b 与a －3b 平行，

∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13

. 此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13

(a －3b )． ∴当k ＝－13

时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．

解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．