浙教版中考一轮复习 第11课时 反比例函数

浙教版中考一轮复习 第11课时 反比例函数 浙教中考一轮复习知识点归纳总结、真题讲解,典型例题分析,变式练习 解析版

1 教学内容

【中考题精选】

1．(2015·台州)若反比例函数y ＝k x

的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( D ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限

C ．第二、三象限

D ．第二、四象限

2．(2016·杭州)设函数y ＝k x (k ≠0，x ＞0)的图象如图所示．若z ＝1y

，则z 关于x 的函数图象可能为( )

【解析】由图可知双曲线在第一象限内，故k ＞0.

∵y ＝k x ，z ＝1y

， ∴z ＝1y ＝1k x

＝1k

·x .

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2 ∵k ＞0，x ＞0，

∴函数z ＝1k

·x 的图象是过原点且在第一象限的一条射线(不包括原点)．故选D ． 【答案】D

3．(2015·温州)如图，点A 的坐标是(2，0)，△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数y ＝k x

的图象经过点B ，则k 的值是( )

A ．1

B ．2

C ． 3

D ．23

【解析】如图，作BC ⊥OA 于点C ，

∵△ABO 是等边三角形，点A 的坐标是(2，0)，

∴OC ＝1，BC ＝ 3.

∴点B 的坐标为(1，3)，将(1，3)代入y ＝k x

得k ＝3，故选C ． 【答案】C

4．(2014·温州)如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥ y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在

边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝k x

(k ≠0)中k 的值的变化情况是( )

A ．一直增大

B ．一直减小

C ．先增大后减小

D ．先减小后增大

【解析】设矩形ABCD 的周长为C ，点A 的横坐标为a ，则点A 的纵坐标为C 4

－a . ∵点A 在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝－a 2＋C 4

a ，∴在边AB 从小于AD 到大于AD (即a 从小到大)的变 化过程中，k 的值先增大后减小．故选C ．

【答案】C

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5．(2014·杭州)函数的自变量x满足1

2≤x≤2时，函数值y满足

1

4≤y≤1，则这个函数可以是()

A．y＝1

2x B．y＝

2

x

C．y＝1

8x D．y＝

8

x

【解析】反比例函数y＝1

2x，y＝2

x，y＝

1

8x和y＝

8

x在第一象限，y都随自变量x的增大而减小．当

1

2≤x≤2时，y

＝1

2x的函数值满足

1

4≤y≤1；y＝

2

x的函数值满足1≤y≤4；y＝

1

8x的函数值满足

1

16≤y≤

1

4；y＝

8

x的函数值满足4≤y≤16.

故选A．

【答案】A

6．(2015·杭州)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数y＝2

x的图象上，过点P作直线

l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP，若反比例函数y＝k

x的图象经过点Q，则k＝．

【解析】将P(1，t)代入y＝2

x，得t＝2，即P点的坐标为(1，2)，由勾股定理可求得OP＝ 5.由Q点在直线l上，

且l∥x轴，所以Q点的纵坐标为2.又QP＝OP，当Q点在P点的右侧时，Q点的横坐标为1＋5；当Q点在P点

的左侧时，Q点的横坐标为1－ 5.所以Q点的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)，代入y＝k

x，得k＝2＋25或k＝2－

2 5

【答案】2＋25或2－2 5

7．(2015·宁波)如图，已知点A，C在反比例函数y＝a

x(a＞0)的图象上，点B，D在反比例函数y＝

b

x(b＜0)

的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a－b的值是.

【解析】∵AB∥CD∥x轴，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，∴设A(m，n)，D(t，n＋5)，则B(m＋3，n)，C(t＋2，n＋5)，把A，B，C，D代入相应的函数表达式，得a＝mn＝(t＋2)(n＋5)，b＝(m＋3)n＝t(n＋5)，∴(m＋3)n－mn＝t(n＋5)－(t＋2)(n＋5)，化简得n＝－2，∴a－b＝mn－(m＋3)n＝－3n＝6.

【答案】6

8．(2016·绍兴、义乌)如图，已知直线l：y＝－x，双曲线y＝1

x，在l上取一点A(a，－a)(a＞0)，过A作x轴

的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l 于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1∶2的两条线段，则a的值为．

3

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4

【解析】依照题意画出图形，如图所示．∵点A 的坐标为(a ，－a )(a ＞0)，∴点B ⎝⎛⎭⎫a ，1a 、点C ⎝⎛⎭

⎫－1a ，1a 、 点D ⎝⎛⎭

⎫－1a ，－a ， ∴OA ＝（a －0）2＋（－a －0）2＝2a ，OC ＝⎝⎛⎭⎫－1a －02＋⎝⎛⎭⎫1a －02＝2a

.又∵原点O 分对角线AC 成1∶2的两条线段，∴OA ＝2OC 或OC ＝2OA ，即2a ＝ 2³

2a 或2a ＝22a ，解得a 1＝2，a 2＝－2(舍去)，a 3＝22

，a 4＝－22(舍去)．故答案为2或22.

9．(2016·丽水)如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝4x

(x >0)的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F .设点A 的横坐标为m .

(1)b ＝ m ＋4m

(用含m 的代数式表示)； (2)若S △OAF ＋S 四边形EFBC ＝4，则m 的值是 2 ．

【解析】(1)∵点A 在反比例函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，且点A 的横坐标为m ，∴点A 的纵坐标为4m

，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，4m .令一次函数y ＝－x ＋b 中x ＝m ，则y ＝ －m ＋b ，∴－m ＋b ＝4m ，即b ＝m ＋4m

.(2)作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N .

∵反比例函数y ＝4x

，一次函数y ＝－x ＋b 都是关于直线y ＝x 对称，∴AD ＝BC ，OD ＝OC ，DM ＝AM ＝BN ＝CN ，记△AOF 的面积为S ，则△OEF 的面积为2－S ，四边形EFBN 的面积为4－S ，△OBC 和△OAD 的面积都是6－2S ，

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5 △ADM 的面积为4－2S ＝2(2－S )，∴S △ADM ＝2S △OEF ，

∴EF ＝12AM ＝12

NB ，把点B 的坐标⎝⎛⎭⎫2m ，2m 代入直线y ＝－x ＋m ＋4m ，得2m ＝－2m ＋m ＋4m ，整理得到m 2＝2， ∵m ＞0，∴m ＝ 2.

10．(2015·舟山)如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝k x

(k ≠0，x ＞0)的图象交于点A (1，a )，B 是反比例函数图象上一点，直线OB 与x 轴的夹角为α，tan α＝12

.

(1)求k 的值；

分析：本题考查了反比例函数的图象与性质，欲求k 的值，先求点A 的坐标；把A (1，a )代入一次函数解析式即可．

解：把点A (1，a )代入y ＝2x ，得a ＝2，

∴A (1，2)．

把A (1，2)代入y ＝k x

，得k ＝2. (2)求点B 的坐标；

分析：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，由tan α＝12

，可知点B 的横纵坐标之比为2∶1，故设点B (2h ，h )，把(2h ，h )代入反比例函数的解析式，求出h 的值，即求出点B 的坐标．

解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，

∵在Rt △BOC 中，tan α＝12

， ∴设B (2h ，h )在y ＝2x

上， ∴2h 2＝2，∴h ＝±1.又∵h ＞0，∴h ＝1，∴B (2，1)．

(3)设点P (m ，0)，使△PAB 的面积为2，求m 的值．

分析：已知点A (1，2)，B (2，1)，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再令y ＝0，求出直线AB 与x 轴交点D 的坐标，由此将S △PAB 转化为S △PAD －S △PBD ，根据△PAB 的面积为2，列出关于m 的方程求解即可．

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6 解：∵A (1，2)，B (2，1)，∴y AB ＝－x ＋3，D (3，0)．

∵△PAB 的面积＝2，即|3－m |³(2－1)＝2.

∴m 1＝－1，m 2＝7.

11．(2016·湖州)湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘．

(1)求鱼塘的长y (米)关于宽x (米)的函数表达式；

(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为多少米？

解：(1)由长方形面积为2 000平方米，得到xy ＝2 000，即y ＝

2 000x

. (2)当x ＝20时，y ＝2 00020

＝100， 答：当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．

12．(2014·宁波)如图，点A ，B 分别在x ，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB

＝DA ＝5，反比例函数y ＝k x (k >0)的图象过CD 的中点E .

(1)求证：△AOB ≌△DCA ；

证明：∵点A ，B 分别在x ，y 轴上，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.∵AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5， ∴△AOB ≌△DC A ．

(2)求k 的值；

解：∵∠DCA ＝90°，DA ＝5，CD ＝2，

∴AC ＝DA 2－CD 2＝（5）2－22＝1，

∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3，.

∵E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝1，∴E (3，1)．

∵反比例函数y ＝k x

的图象过点E ， ∴k ＝3.

(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说

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7 明理由．

解：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，

∴BF ＝DC ＝2，FG ＝AC ＝1.

∵点F 在y 轴上，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3，

∴G (1，3)．把x ＝1代入y ＝3x

中得y ＝3， ∴点G 在反比例函数的图象上．

【中考考点梳理】

考点一 反比例函数的定义

一般地，函数y ＝ k x

(k 为常数，k ≠0)叫做反比例函数． 反比例函数的解析式可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k .

考点二 反比例函数的图象和性质

1．反比例函数y ＝k x

(k 为常数，k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线． 因为x ≠0，k ≠0，相应地y 值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x 轴和y 轴，但永不与x 轴、y 轴相交．

2．反比例函数的图象和性质

反比例函数y ＝k x

(k 为常数，k ≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k 的符号的影响． y ＝k x

(k 为常数，k ≠0) k ＞0 k ＜0

图 象

所在象限

一、三(x ，y 同号) 二、四(x ，y 异号) 性 质 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y

随x 的增大而增大

温馨提示：

反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形．其对称轴是直线y ＝x 和直线y ＝－x ，对称中心是原点．

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8 考点三 反比例函数解析式的确定

1．由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数k ，因此只需已知一组对应值就可以求出k .

2．用待定系数法求反比例函数解析式的步骤

(1)设出含有待定系数的函数解析式；

(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；

(3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式．

考点四 反比例函数系数k 的几何意义

反比例函数y ＝k x (k ≠0)中 k 的几何意义：由y ＝k x

(k ≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k |．

如图1和2，S 矩形PAOB ＝PA ·PB ＝|y |·|x |＝|xy |＝|k |，同理可得S △OPA ＝S △OPB ＝12|xy |＝12

|k |. 温馨提示：

根据图象描述性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握．

考点五 反比例函数的应用

解决反比例函数的实际问题时，要先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，要特别注意自变量的取值范围．

【典型例题】

考点一 反比例函数的图象与性质

关于反比例函数y ＝－2x

，下列说法正确的是( D ) A ．图象过(1，2)点

B ．图象在第一、三象限

C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小

D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

【思路点拨】由k ＜0，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大即可判断．

方法总结：

对于反比例函数y ＝k x

(k 为常数，k ≠0)中k 的符号、图象所在的象限、函数的增减性这三者，知其一则知其二，即k ＞0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y 随x 的增大而减小；k ＜0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y

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9 随x 的增大而增大．特别说明，y 随x 的变化而变化时，一定要说明两个点在同一象限内．

已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)在反比例函数y ＝－k 2－1x

的图象上．下列结论中正确的是( B ) A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 2＜y 3＜y 1

C ．y 2＜y 1＜y 3

D ．y 1＜y 3＜y 2

考点二 反比例函数的解析式及系数k 的几何意义

(2016·温州)如图，点A ，B 在反比例函数y ＝k x

(k ＞0)的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD ＝k ，已知AB ＝2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是 ．

【思路点拨】由点E 是AB 的中点及S △BCE ＝2S △ADE 容易得出2S △ABD ＝S △BA C ．设点A 的坐标为⎝

⎛⎭⎫m ，k m ，点B 的坐标为⎝⎛⎭

⎫n ，k n ，结合CD ＝k 、AB ＝2AC 即可得出关于m ，n ，k 的三元一次方程组，解方程组即可得出k 的值．

【解析】∵E 是AB 的中点，∴S △ABD ＝2S △ADE ，S △BAC ＝2S △BCE ，又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，

∴2S △ABD ＝S △BA C ．设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，点B 的坐标为⎝⎛⎭

⎫n ，k n ，其中m ＞0，n ＜0，则有 ⎩⎨⎧m －n ＝k ，k m ＝－2k n ，（m －n ）2＋⎝⎛⎭⎫k m －k n 2＝2k m ， 解得⎩⎨⎧k ＝372，m ＝72，n ＝－7，或⎩⎨⎧k ＝－372

，m ＝－72，（舍去），n ＝7 故答案为372【答案】372

方法总结：

因为反比例函数y ＝k x

(k 为常数，k ≠0)中的k 有正、负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号；已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k 的值时，要根据函数图象所在的象限确定k 的正负．

如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x

上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

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10 【解析】∵点A ，B 是双曲线y ＝4x

上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数图象的性质得到两个矩形的面积都等于|k |＝4，

∴S 1＋S 2＝4＋4－1³2＝6.故选D ．

【答案】D

考点三 一次函数与反比例函数的综合应用

(2016·金华)如图，直线y ＝33

x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝k x (k ＞0)图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E .

(1)求点A 的坐标．

(2)若AE ＝A C ．

①求k 的值．

②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．

【思路点拨】(1)求当y ＝0时y ＝33

x －3对应的x 的值，即可得到点A 的坐标；(2)①过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 根据三角函数的相关知识计算出点C 的坐标，由C ，E 两点坐标及反比例函数性质建立方程，求得k 值；②根据一次函数的解析式表示出点D 的坐标，检验点D 是否在反比例函数图象上，根据点E 与点D 的坐标特征判断此两点是否关于原点O 成中心对称．

【自主解答】

解：(1)当y ＝0时，得0＝

33

x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)．

(2)①如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).

在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33

，∴∠OAB ＝30°. 在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，

∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos 30°＝32

t ，

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11 ∴点C 的坐标是⎝⎛⎭

⎫3＋32t ，12t . ∴⎝⎛⎭⎫3＋32t ³12

t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.

②点E 的坐标为()3，23，

设点D 的坐标是⎝⎛⎭

⎫x ，33x －3， ∴x ⎝⎛⎭

⎫33x －3＝63，解得x 1＝6，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，

∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．

方法总结：

1．求两个函数图象的交点坐标的方法是把两个函数图象的解析式联立组成方程组，通过解方程组求出这两个函数图象的交点坐标．

2．用待定系数法求两个函数的解析式的问题，关键是设法找出图象交点的坐标，然后运用待定系数法求函数的解析式．

如图，反比例数y ＝－6x

在第二象限的图象上有两点A ，B ，它们的横坐标分别为－1，－3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．24

【解析】∵点A ，B 都在反比例函数的图象上，

∴A (－1，6)，B (－3，2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧6＝－k ＋b ，2＝－3k ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝8， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋8，

∴C (－4，0)．

在△AOC 中，OC ＝4，OC 边上的高(即点A 到x 轴的距离)为6，

∴△AOC 的面积＝12

³4³6＝12.故选C ． 【答案】C

考点四 反比例函数的应用

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12 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物

浓度y (微克/毫升)与服药时间x 小时之间的函数关系如图所示(当4≤x ≤10时，y 与x 成反比)．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；

(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？

【思路点拨】(1)根据正比例函数和反比例函数都经过点(4，8)即可求得；(2)利用y ＝4分别求得x 的值，进而得出答案．

【自主解答】

解：(1)由图象可知，当0≤x ≤4时，y 与x 成正比例关系，设y ＝kx .∵当x ＝4时，y ＝8，∴4k ＝8，解得k ＝2. ∴

y ＝2x ()0≤x ≤4.又由题意可知，当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例关系，设y ＝m x

(m ＞0)．∵当x ＝4时，y ＝8， ∴m ＝4³8＝32.

∴y ＝32x ()4＜x ≤10.即血液中药物浓度上升时，y ＝2x ()0≤x ≤4；血液中药物浓度下降时，y ＝32x

()4＜x ≤10. (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升，即y ≥4.

∴2x ≥4且32x

≥4，解得x ≥2且x ≤8. ∴2≤x ≤8，即血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时．

方法总结：

解决实际问题的一般步骤如下：(1)审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；(2)确定问题中的两个变量，列出它们之间的反比例函数关系式；(3)代入数值求解．

教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃，停止加热，

水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时，接通电源后，水温y (℃)和时间x (min)的关系如图所示． 为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )

A ．7：20

B ．7：30

C ．7：45

D ．7：50

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13

【解析】∵开机加热时每分钟上升

10 ℃， ∴从30 ℃到100 ℃需要7分钟，

设一次函数关系式为y ＝k 1x ＋b ，

将(0，30)，(7，100)代入y ＝k 1x ＋b 得k 1＝10，b ＝30，

∴y ＝10x ＋30(0≤x ≤7)，

令y ＝50，解得x ＝2.

设反比例函数关系式为y ＝k x

， 将(7，100)代入y ＝k x

，得k ＝700， ∴y ＝

700x ，将y ＝30代入y ＝700x ，解得x ＝703； ∴y ＝700x ⎝

⎛⎭⎫7≤x ≤703，令y ＝50，解得x ＝14. ∴饮水机的一个循环周期为703分钟．每一个循环周期内，在0≤x ≤2及14≤x ≤703

时间段内，水温不超过50℃. 逐一分析如下：

选项A ，7：20至8：45之间有85分钟.85－

703³3＝15，位于14≤x ≤703时间段内，故可行； 选项B ，7：30至8：45之间有75分钟.75－703³3＝5，不在0≤x ≤2及14≤x ≤703

时间段内，故不可行； 选项C ，7：45至8：45之间有60分钟.60－703³2＝403≈13.3，不在0≤x ≤2及14≤x ≤703

时间段内，故不可行； 选项D ，7：50至8：45之间有55分钟.55－703³2＝253≈8.3，不在0≤x ≤2及14≤x ≤703

时间段内，故不可行．故选A ．【答案】A

【课堂练习】

1．若函数y ＝m ＋2x

的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是( A ) A ．m ＜－2 B ．m ＜0

C ．m ＞－2

D ．m ＞0

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14 2．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在反比例函数y ＝3x

的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( A ) A ．0＜y 1＜y 2 B ．0＜y 2＜y 1

C ．y 1＜y 2＜0

D ．y 2＜y 1＜0

3．(2015·湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数y ＝1x

(x ＜0)图象上一点，AO 的延长线交函数y ＝k 2

x

(x ＞0，k 是不等于0的常数)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连结CC ′，交x 轴于点B ，连结AB ，AA ′，A ′C ′，若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于( )

A ．8

B ．10

C ．310

D ．46

【解析】如图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，设OE ＝m ，则AE ＝1m ，设OB ＝n ，则CB ＝k 2n

，∵AE ∥CB ， ∴AE OE ＝CB OB ，∴1m m ＝k 2

n n

，

∴n ＝mk ，

∵S △ABC ＝12BC ³BE ，∴6＝12³k 2

n

(m ＋n )，代入n ＝mk ，得12＝k (1＋k )，解得k 1＝－4(舍去)，k 2＝3，∴n ＝3m .过点A ′作A ′M ⊥CC ′于点 M ，则所求面积＝S △ACM ＋S △A ′C ′M ＝ 12CM ³AM ＋12C ′M ³A ′M ＝12⎝⎛⎭

⎫93m ＋1m (3m ＋m )＋ 12⎝⎛⎭

⎫93m －1m ²(3m －m )＝8＋2＝10.故选B ． 【答案】B 4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点．若x 2＝x 1＋2，

且1y 2＝1y 1＋12

，则这个反比例函数的表达式为 y ＝4x ． 【解析】设反比例函数的表达式为y ＝k x (k ≠0)，因为y 1＝k x 1，y 2＝k x 2，1y 2＝1y 1＋12

，所以x 2＝x 1＋12k .因为x 2＝x 1＋2，所以12

k ＝2，解得k ＝4，所以反比例函数的表达式为y ＝4x . 5．(2015·绍兴、义乌)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点

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15 的坐标为(a ，a )，如图．若曲线y ＝3x

(x >0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是 .

【解析】∵A 点的坐标为(a ，a )，四边形ABCD 为正方形，∴C (a －1，a －1)，当反比例函数经过C 时，a －1＝3a －1

，∴(a －1)2＝3，∵a ＞0，∴a ＝3＋1；当反比例函数经过A 时，a ＝3a ，∴a 2＝3，∵a ＞0，∴a ＝ 3.∵曲线y ＝3x

(x ＞0)与此正方形的边有交点，∴a 的值介于3＋1和3之间，故答案为3≤a ≤3＋1.

【答案】3≤a ≤3＋1

6．(2016·台州)请用学过的方法研究一类新函数y ＝k x

2(k 为常数，k ≠0)的图象和性质．

(1)在给出的平面直角坐标系中画出函数y ＝6x

2的图象； 解：函数y ＝6x

2的图象，如图所示．

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16 (2)对于函数y ＝k x

2，当自变量x 的值增大时，函数值y 怎样变化？ 解：①若k ＞0，当x ＜0时，y 随x 增大而增大，

当x ＞0时，y 随x 增大而减小．

②若k ＜0，当x ＜0时，y 随x 增大而减小，

当x ＞0时，y 随x 增大而增大．

7．(2016·嘉兴、舟山)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝4x

的图象交于点A (－4，m )，且与y 轴交于点B ．第一象限内点C 在反比例函数y 2＝4x

的图象上，且以点C 为圆心的圆与x 轴、y 轴分别相切于点D ，B ．

(1)求m 的值；

解：把点A (－4，m )代入y 2＝4x

，得m ＝－1. (2)求一次函数的表达式；

解：连结CB ，CD ，∵⊙C 与x 轴、y 轴分别相切于点D ，B ， ∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°＝∠BOD ，BC ＝CD ，

∴四边形BODC 是正方形，

∴BO ＝OD ＝DC ＝C B ．

∴设C (a ，a )，代入y 2＝4x ，得a ＝4a

， ∵a ＞0，∴a ＝2，

∴C (2，2)，B (0，2)．

把A (－4，－1)和B (0，2)的坐标代入y 1＝kx ＋b 中，

得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝－1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3

4，b ＝2.