2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1检测：第三章 变化率与导数 3 含答案 精品

第三章 §

3

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．曲线f (x )＝x 3在点⎝⎛⎭

⎫33，39处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45°

C ．60°

D ．120°

解析： ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′⎝⎛

⎭⎫33＝1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°. 答案： B

2．过曲线y ＝1x

上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2

B ．⎝⎛⎭⎫－12，－2或⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2

解析： y ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12

，P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案： B 3．已知函数f (x )＝31x ，则f ′(8)等于( ) A.148

B ．－148

C ．－12

D ．－2 解析： ∵f (x )＝x －13

∴f ′(x )＝－13

x －43 ， ∴f ′(8)＝－13×8－43 ＝－148

. 答案： B

4．已知正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭

⎫34π，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4

D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4

解析： y ′＝cos x ，其值域为以点P 为切点的切线的斜率的取值范围[－1,1]，结合正切

函数图像及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭

⎫34π，π. 答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析： ∵y ′＝e x ，

∴f ′(2)＝e 2

∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)．

令x ＝0，得y ＝－e 2，

令y ＝0，得x ＝1，

∴S △＝12×1×e 2＝e 22

. 答案： e 22

6．已知函数f (x )＝x m

－n 的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 解析： ∵f (x )＝x m －n ，

∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4. ∴m ＋n ＝12.

答案： 12

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．求曲线y ＝1x

与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝1x y ＝x 2

得交点为(1,1)， 而⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(x 2)′＝2x ， ∴斜率分别为：－1和2，

∴切线方程为：y －1＝－(x －1)．

及y －1＝2(x －1)；

令y ＝0得与x 轴交点为(2,0)及⎝⎛⎭⎫12，0，

∴S △＝12·⎝⎛⎭⎫2－12×1＝34.

8．已知曲线方程为y ＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解析： 设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．

∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0.

∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．

将点B (3,5)代入上式得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，

即5－x 20＝6x 0－2x 20.

∴x 20－6x 0＋5＝0，

∴(x 0－1)(x 0－5)＝0.

∴x 0＝1或x 0＝5.

∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．

∴所求切线方程为y －1＝2×(x －1)或y －25＝10(x －5)，

即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. 尖子生题库☆☆☆

9．(10分)设直线l 1与曲线y ＝f (x )＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直x 轴于点K ，求KQ 的长．

解析： 如图，设P (x 0，y 0)，

则kl 1＝f ′(x 0)＝12x 0

， ∵直线l 1与l 2垂直，

则kl 2＝－2x 0，

∴直线l 2的方程为 y －y 0＝－2x 0(x －x 0)

∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，

∴y 0＝x 0，

在直线l 2的方程中令y ＝0.

则0－x 0＝－2x 0(x －x 0)，

∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12

＋x 0， 又x K ＝x 0，

∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12

.