2020学年高中数学第一章导数及其应用1_5定积分的概念1_5_1曲边梯形的面积1_5_2定

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1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 1．5.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积 定积分

[对应学生用书P24]

问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？

提示：不能．

问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？

提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．

问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？

提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．

1．曲边梯形的面积

将已知区间[a ，b ]等分成n 个小区间，当分点非常多(n 很大)时，可以认为f (x )在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x i 对应的函数值f (x i )作为小矩形一边的长．于是，可用f (x i )Δx 来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x n )Δx 表示了曲边梯形面积的近似值．

2．求曲边梯形的面积的步骤

求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：

分割

设函数f (x )在区间[a 个小区间，每个小区间长度为Δx ⎝ ⎛⎭

⎪⎫Δx ＝b －a n ，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，作和S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx .

如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．记为S ＝∫b

a f (x )d x . 其中，f (x )称为被积函数，[a ，

b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．

问题1：试利用定积分的定义计算⎠⎛0x d x 的值．

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2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 提示：将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，第i 个小区间的面积为 ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝i n ·1n

， 所以S n ＝∑i ＝1n ΔS i ＝∑i ＝1n i n ·1n ＝1n

2(1＋2＋3＋…＋n )

＝1n 2·n n ＋1

2＝12＋12n

， 当n →＋∞时，S n →12，所以⎠⎛01x d x ＝12

. 问题2：直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和函数f (x )＝x 围成的图形的面积是多

少？

提示：如图，S ＝12×1×1＝12

. 问题3：以上两个问题的结果一样吗？

提示：一样．

问题4：以上问题说明了什么道理？

提示：定积分⎠⎛a b

f (x )d x (f (x )≥0)的值等于直线x ＝a ，x ＝b ，(a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的面积．

一般地，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的

代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．)

1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．

2．定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分

区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a b x 2d x ＝⎠⎛a b

t 2d t . 利用定积分的定义求曲边梯形的面积

[例1] 3[思路点拨] 依据求曲边梯形面积的步骤求解．