线性代数4 逆矩阵

复 习阶梯形矩阵： 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 4 0 0 0 3 2 0 0 0 0

特点：(1)元素全为零的行位于矩阵的最下面； (2)每行的第一个非零元素(首非零元)下面的元素都为0.

(3)阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

简化的阶梯形矩阵： 1 0 0 0 特点： (1)每行的第一个非零元素都是1,其上、下元素都为0. (2)简化行的阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0

1 0 2 0

下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 对换变换：ri rj 对调矩阵的两行; (2) 倍乘变换： ri k 以数k≠0乘矩阵某一行中的所 有元素; (3) 倍加变换： ri lr j 把矩阵的某一行所有元素的l 倍加到另一行对应的元素上去;

矩阵的秩：阶梯形矩阵A的非零行的行数称为矩阵的 秩，记为r(A).

定理

若 A → - - - →B, 则 r A = r B .

初等行变换

§2.4 逆矩阵【学习本节要达到的目标】 1、理解逆矩阵的概念，了解可逆矩阵的性质。 2、熟练掌握用初等行变换求逆矩阵。

一、逆矩阵的定义及其性质定义(逆矩阵) 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得AB=BA=E 则称A是可逆矩阵(invertible matrix)。并称B为A的逆矩阵 1 (inverse matrix),记为 A 1,即 B A .

1 1 使得 ab=ba=1, AB BA -1 则称b是a的倒数，记做b=a . E ,

1 类比定义(倒数) A 1 1 , B 1 2 1 2 , 设a为非零常数，必存在唯一的一个数 b , 例: 设

1 2 1 2

a

B是A的一个逆矩阵 .另：单位矩阵是可逆的，因为EE=E,所以单位矩阵的逆矩 阵是它本身，即E-1=E.

若方阵A是可逆的，则它有如下性质：(1)若方阵A可逆,则A的逆矩阵唯一； (2)若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A; (3)若k(≠0)∈R,A可逆,则kA也可逆,且(kA)-1=k-1A-1; (4)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T; (5)若A,B为同阶可逆阵,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

证明(1): B、C都是A的逆矩阵，则 设 AB BA E,AC CA E 从而B EB (CA) B C ( AB ) CE C

n阶方阵A可逆的充分必要条件：n阶矩阵A可逆 r(A) = n

同时还有如下的重要结论：设A,B都是n阶方阵，且AB=E,(或BA= E),则

A,B都可逆，且B=A-1, A=B-1.

二、逆矩阵的求法

2 A 例1: 设 1 a 解： 设 B c 2 AB 则 1

1 , 求A的逆矩阵. 0 b 是 A 的逆矩阵, d 1 a b 1 0 0 c d 0 1

2a c 2b d 1 0 b 0 1 a

2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1, 又因为

a 0, b 1,

c 1, d 2.

待定系数法这种方法有局限性， 只适合简单的二阶矩阵， 三阶及以上的矩阵由于 项数较多，不适合用这 种方法求逆矩阵.

AB

BA

2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1 所以

0 1 A . 1 2 1

初等变换法n阶矩阵A可逆 r(A) = n A可经初等变换化为单位阵En. 设 A A n ,求 n

A 1 ,可分三步进行

作 n 2n 阶矩阵A 1 B

A

E

对此矩阵作行变换， 成为 E B

( A E ) ( E A ) 施行若干次初等行变换

1

例1: 设

2 1 A , 用初等变换法求A的逆矩阵. 1 0

解

先做2×4矩阵 A E ,然后对其施以初等 行变换： 2 1 1 0 r1 r2 1 0 0 1 A E 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 r1 r2 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 2 r1

所以有：A 1

0 1 1 2 .

例2 解

1 2 1 求矩阵 A 2 3 1 的逆矩阵. 3 8 3 r2 2 r1

1 2 1 1 0 0 ( A E) 2 3 1 0 1 0 3 8 3 0 0 1

1 2 1 1 0 0 0 1 3 2 1 0 3 8 3 0 0 1 2

1 2 1 1 0 0 r 2 r 1 2 1 1 0 0 r3 -3r1 0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 0 6 7 2 1 0 2 0 3 0 1 3

r3 6

1 2 1 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 7 1 1 6 3 6

r2 3 r3

1 2 1 1 3 0 1 0 2 0 0 1 7 6

0 0 1 2 1 1 3 6 0

1 2 1 1 3 0 1 0 2 0 0 1 7 6 1 2 0 1 6 r1 +r3 0 1 0 3 2 0 0 1 7 6

0

0 r ( 1) 1 2 1 1 2 0 1 0 3 0 1 2 2 0 0 1 7 1 1 6 3 6 1 2 1 6 1 6

0 0 1 0 2 1 1 3 6 5 6 0 1 2 1 1 3 6 1 3

1 3

01 3

所以有:

1 0 0 17 6 r1 2r2 0 1 0 3 2 0 0 1 7 6

A 1

17 6 3 2 7 6

5 6 0 1 2 1 1 3 6 1 3

或A 1

17 2 5 1 9 0 3 6 7 2 1

AA 1

6 0 0 1 0 0 1 2 1 17 2 5 1 1 2 3 1 9 0 3 0 6 0 0 1 0 3 8 3 6 7 2 1 6 0 0 6 0 0 1

注意：(1)应用初等变

换求方阵A的逆矩阵时，不需 要事先判断方阵A是否可逆，只需对n×2n矩阵 [ A︱E ]施以初等变换.若A能化为E,则就求得 了A-1;若A不能化为E,即可知A不可逆.

(2)由上述可知，若不知n阶方阵A是否可逆， 用上述初等行变换方法也可以判断A是否可逆.

练习 设 解：

1 2 1 A 3 4 2 5 4 1

求 A-1.

2 1 1 0 0 r 3 r 1 2 1 1 0 0 1 2 1 3 A E 3 4 2 0 1 0 r 5r1 0 2 1 3 1 0 5 4 1 0 0 1 0 14 6 5 0 1 r3 7 r2 ( 1) r3

2 0 15 7 1 2 1 1 0 0 1 1 r1 r3 r2 r 13 6 1 0 2 1 3 1 0 3 0 2 0 0 0 1 16 7 1 0 0 1 16 7 1 1 0 0 2 1 0 13 1 0 1 0 3 E 2 0 0 1 16 7 2 1 r1 r2 1 r2 2

A 1

所以

2 1 0 13 1 1 A 3 2 16 7 2 1

例3 解

解矩阵方程

1 5 3 2 1 4 X 1 4 ;

1 5 3 2 1 4 X 1 4 1

1 5 给方程两端左乘矩阵 , 1 4 E

1 5 1 5 1 5 3 2 得 X 1 4 1 4 X 1 4 1 4 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 . X 1 4 1 4 1 1 1 4 4 6 1

1

1