线性代数试题及答案[1]

无

（试卷一）

一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

a11a21

a12a22

a11

1，则a21

3a123a226

0 1

2. 若

B

3. 已知n阶矩阵A、B和C满足ABC E，其中E为n阶单位矩阵，则

1

CA

。

4. 若A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充分要条件是 _________

5. 设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为

__2___________。

1

6. 设A为三阶可逆阵，A

1 2 3

012

0 *

0 ，则A 1

7.若A为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件是

13

20114

T

34103

41122

52

1，则A41 A42 A43 A44 A45 31

8.已知五阶行列式D 1

15

9. 向量 ( 2,1,0,2)的模（范数）______________。 10.若 1

k

1 与 1

T

2

1 正交，则k T

二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组 1, 2, , r线性相关且秩为s，则(D) Ａ．r s Ｂ．r s

Ｃ．s r Ｄ．s r

2. 若A为三阶方阵，且A 2E 0,2A E 0,3A 4E 0，则A (A)

Ａ．8 Ｂ． 8 Ｃ．

43

Ｄ．

43

无

3．设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )

Ａ．R(B) R(A) Ｂ．R(B) R(A)

Ｃ．R(B) R(A)

Ｄ．R(B) R(A)

4. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则

kA

等于_____。c

(A)kA

(B)kn

A

(C) kn 1A

(D) A

5. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。

(A)AB AC 则 B C (B) AB 0,则A 0或B 0 (C) (AB)T ATBT (D) (A B)(A B) A2 B2

三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）

22 222

2

2

2

2

1. 计算n阶行列式D

2

2

3

2

2。

222 n 122

2

2

2

n

2．设A为三阶矩阵，A*

为A的伴随矩阵，且A

12

，求(3A)

1

2A

*

.

3．求矩阵的逆

111 A 2

11

12

0

x1 x2 x23 4. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组

x1 x2 x3

x1

x2 x3 1

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

x1 x2 x3 x4 2

2x1 3x2 x3 x4 1 x1

2x3 2x4 5

6.已知向量组 1 1

02

3

T

、 2 11

3

5

T

、

3 1

13

1

T

、

无

4 1

24

9

T

11、5

2

5

T

，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该

最大无关组线性表示．

1

7. 求矩阵A 4

1

130

0

0 的特征值和特征向量． 2

四、证明题（本题总计10分）

设 为AX b b 0 的一个解， 1, 2 n r为对应齐次线性方程组AX 0的基础解系，证明 1, 2 n r, 线性无关。

（答案一）

一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）

1

1~15；2、3；3、CA；4、R A R(A,b) n；5、2；6、 2

3

012

0

0 ；7、R A n；8、0；9、3；10、1。.1

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）

2

22

22

22

22

1、 解：D

ri r2(i 3,4, ,n)

000

01 00

00

0

0

------3分

n 300

n 2

2 2

2 2

2 2

2 2

r2 2r1

000

0 00

1 00

0

0

-------6分

n 300

n 2

1 ( 2) 1 2 (n 3) (n 2) 2(n 2)! ----------8分 （此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

1

解：（1）AB 2A 1

1

11 1

1 1 1 1 1 2

231

1 1

1 2 1

14

11 1

1

1 ------1分 1

无

4 2 2

620

4 2 2 2

6 211 1

22 2

2 2

2 4

2 091011

402

2

0 ------5分 4

8 11 12

1

（2）A B

22

1

1 3 3 5 1 2

1 113 4

6 3

17 8

12

0

7 --------8分 16 2A

*

*

3. 设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且A

，求(3A)

*

. 因AA＝AE

12

E，故

A

*

A

n 1

14

3分 A

1

1A

A

*

2A 5分

*

(3A)

1

2A

*

23

A 2A

0 110 100 1 11

**

00 1

43100

A

*

16 4 1

8分

27 3 40 1

r2 r1 0 0

r3 r1 1 00 r1 ( 1)

0 r2 ( 1)1 r3 ( 1)

1

0 0

0 11010

00100 1 1 1 2

111

0100 1 1

0

0 ---3分 1

0

0 ---6分 1

3

1

4、解： (A,E) 1

1 1

0

r3 r2

0

1 1 2

010011

00 1

112

故A

1

0 1 1

A公式求得结果也正确。0 -------8分 （利用A ） A

1 11

1 r1 r3

r2 r12 r3 r1

5、解；(A,b) 1

1

1

1 0 0

2

1

1 1

2

1

1

2

r3 r2

3 1

2

1

0

0

1

1 (2 )(1 )

1

2

---------3分

2

(1 )(1 )

（1）唯一解：R(A) R(A,b) 3 1且 2 ------5分 （2）无穷多解：R(A) R(A,b) 3 1 --------7分

（3）无解：R(A) R(A,b) 2 --------9分 （利用其他方法求得结果也正确。）

无

1

(A,b) 6、解： 2

1

130

112

112

2 r1 5 1

0 0

010

2 10

2 10

5

3 --------3分 0

2 2

x 2x 2x 0 1 1 1 34

基础解系为 1 ， 2 0 -----6分 x x x 0134 2

1 0

5

x1 2x3 2x4 5 3 令x3 x4 0，得一特解： ---7分 故原方程组的通解为： x x x 3034 2

0

5 2 2

311

，其中k1,k2 R---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给 k k1 2 010

0 0 1

k1 1 k2 2

分。）

1

13 0

002

T

7、解：特征方程A E 41

( 2)( 1) 从而 1 2, 2 3 1 (4分)

2

当 1 2时，由(A 2E)X 0得基础解系 1 (0,0,1)，即对应于 1 2的全部特征向量为k1 1(k1 0) (7分)

当 2 3 1时，由(A E)X 0得基础解系 2 ( 1, 2,1)，即对应于 2 3 1的全部特征向量为

k2 2(k2 0)

T

四、证明题（本题总计10 分）

证： 由 1, 2 n r为对应齐次线性方程组AX 0的基础解系，则 1, 2 n r线性无关。(3分) 反证法：设 1, 2 n r, 线性相关，则 可由 1, 2 n r线性表示，即： 1 1 r r (6分)

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是AX 0的解。这与已知条件 为AX b b 0 的一个解相矛盾。(9分). 有上可知， 1, 2 n r, 线性无关。(10分)

(试卷二) 一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是 ．

无

2x1 x2

1

x中x的系数是 x

3

2.函数f(x) x

1

3．设三阶方阵A的行列式A 3,则(A*) 1． 4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是

2

5．设向量 (1, 2, 1)T， = 正交，则

2

6．三阶方阵A的特征值为1， 1，2，则A＝

7. 设A

1

1

0 0

220

1

1，则A _________.

3

8. 设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．

9．设A为n阶方阵，且A＝2 则(

2

10．已知A 2

3

0x1

13A)

1

A

*

．

0 1 2相似于B 1

2

，则x ，y ． y

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）

1. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则5A等于 ． (A) ( 5)D (B)-5D (C) 5D (D)( 5)2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .

(A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A有n个特征值 (C) 矩阵A的行列式A 0 (D) 矩阵A的特征方程没有重根

n

n 1

D

无

3．A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充要条件是．

(A)R(A,b) m (B)R(A) m (C)R(A) R(A,b) n (D)R(A) R(A,b) n 4.设向量组A能由向量组B线性表示，则( )

(A)．R(B) R(A)

(B)．R(B) R(A)

(C)．R(B) R(A) (D)．R(B) R(A) 5. 向量组 1, 2, , s线性相关且秩为r，则 ．

(A)r s (B) r s (C) r s (D) s r

三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）

2

22

2 2

22

22

1. 计算n阶行列式: D

222

2 22

3

2

2

.

2 2

n 122

n

211

0

3. 0

2

2．已知矩阵方程AX A X，求矩阵X,其中A 2

0

2

3. 设n阶方阵A满足A 2A 4E 0,证明A 3E可逆，并求(A 3E)

1

.

4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:

x1 x2 x3 2x4 3

2x1 x2 3x3 8x4 8

3x1 2x2 x3 9x4 5 x 2x 3x 4

34 2

5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

无

2 1 4,

2 1 2 1,

0

2

2 3 3,

1

2

2

3 4 5.

2

6．已知二次型：f(x1,x2,x3) 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3， 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．

四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）

设b1 a1, b2 a1 a2 , , br a1 a2 ar, 且向量组a1,a2, ,ar线性无关，证明向量组b1,b2, ,br线性无关.

(答案二)

一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）

1. 17 2. -2 3A4．R(A)

3

1

1

1 11

0n5． 26．-27A或 66

0

220

1

n

（－1）

18． 2910、x

23

0,y 2

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B

三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）

2

22

22

22

22

1、 解：D

ri r2(i 3,4, ,n)

000

01 00

00

0

0

------4分

n 300

n 2

2 2

2 2

2 2

2 2

r2 2r1

000

0 00

1 00

0

0

-------7分

n 300

n 2

1 ( 2) 1 2 (n 3) (n 2) 2(n 2)! ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。） 2．求解AX A X，其中

无

2

A 2

0

211

0 3 0

解：由AX A X得

1

X A E

A (3分)

1

20220

226r

1

00 A E,A

2

03213

20 3

(6分) 010

01

1

1

0

00

1

2

1

3

分)

2

26 所以 X

2

0 3

(10分)

2 1

3

3．解：利用由A2

2A 4E 0可得：(A 3E)(A E) E 0 --------5分

即 (A 3E)(A E) E ------7分 故A 3E可逆且(A 3E) 1 (A E)--------10分 4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．

x1 x2 x3 2x

4 3

2x1 x2 3x3 8x4 8

3xx 1 2x2 23 9x4 5 x1

2x2 3x3 4

1

1123 11123 解：(Ab)

2

1388 r 01 2 3 4

32 1 9 5 0112 (2分) 01 2 3

4 0 0

0

100

2

1 xr 1 2x4 1 010 1 0

x2 x4 0 (6分) 0011 (4分)则有 0

2 0

x3

x4 2

x 1

1 2 取xx 2 0

4为自由未知量，令x4 c，则通解为：

x c 1

c R 3 2 x 1 4

1

0

(8分) (8

无

2 1

(10分) 对应齐次线性方程组的基础解系为：

1 1

5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

2

1 4,

2

1 2 1,

0

2 3 3,

1

3

4 5. 解：

2

1 2 3 4

=

2 4 2

110

231

3 2 5 0

2 0

1 1 1

2 1 1

3 2

1 0

1 0

110

210

3

1 0

1 0 0

010

1210

1

1 0

(2分) 1, 2为一个极大无关组. (4分) 设 3 x1 1 x2 2， 4 y1 1 y2 2

1

y1 11 x1

1 解得 . (8分) 则有 3 2，

2y 1 2 x 1

2

， 2

4 1 2

2

2

2

6 解 f(x1,x2,x3) 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3

2

2 f的矩阵 A 2

25 4

2

2

4 (2分)A的特征多项式 ( ) ( 1)( 10) 5

(4分)

0 4 1

2 1 2 1的两个正交的特征向量 p1 1, p2 1 3 10的特征向量 p3

1 1 2

正交矩阵 Q 1

1 f y1 y2 10y3

2

2

2

022

432 132132

13

23 8分) 正交变换x Qy：标准形 23

四、证明题（本题总计 10分）若设b1 a1,b2 a1 a2, ,br a1 a2 ar,且向量组a1,a2, ,ar线性无关，证明向量组b1,b2, ,br线性无关. 证明：设存在λ1,λ2, ,λr R，使得 1b1+ 2b2 +

+

r

br = 0

无

也即

1a (1a a

r a)

2

)ra 1a (ar2 2 ar

)化0简得

( 1 2 )ar

1

( 2

r

0

1 2 r 0

2 r 0 a1,a2, ,ar

又因为线性无关，则 (8分)解得 1 2 r 0

r 0

所以，b1, b ,2. ,线性无关 br

（试卷三）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2n)(2n 2) 2的逆序数为

a

badd

cccc

ddab

2、设4阶行列式D4

dba

，则A11 A21 A31 A41 1

3、已知A 0

0

1020

3

1 *

7，则 A 2

1

4、已知n阶矩阵A、B满足A B BA，则 E B 5、若A为n m矩阵，则齐次线性方程组Ax 0只有零解的充分必要条件是 6、若A为n m矩阵，且R(A) 3 min{n,m}，则齐次线性方程组Ax 0的基础解系中包

含解向量的个数为

7、若向量 1 23 与向量 1

T

1 正交，则 T

8、若三阶方阵A的特征多项式为A E ( 1)( 1)2，则A

9、设三阶方阵A 2 1 、B 1 ，已知A 6，B 1，则A B

3 2 2

10、设向量组 1, 2, 3线性无关，则当常数l满足，向量组

l 2 1, 3 2, 1 3线性无关.

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

1、 以下等式正确的是( )

无

kaＡ． kc

b a k cd b

d

Ｂ．

kakcac

kbkdbd

k

acca

bd

Ｃ．

a cc

b d a d cb

d

Ｄ．

db

2、 4阶行列式det(aij)中的项a11a33a44a22和a24a31a13a42的符号分别为（ ）

Ａ．正、正

Ｃ．负、负

Ｂ．正、负 Ｄ．负、正

3、 设A是m n矩阵，C是n阶可逆阵，满足B＝AC. 若A和B的秩分别为rA和rB ，则有( )

Ａ．rA rB Ｃ．rA rB

Ｂ．rA rB Ｄ．以上都不正确

4、 设A是m n矩阵，且R(A) m n，则非齐次线性方程组Ax b( )

Ａ．有无穷多解

Ｃ．无解

Ｂ．有唯一解

Ｄ．无法判断解的情况

5、已知向量组 1, 2, 3, 4线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）

Ａ． 1 2, 2 3, 3 4, 4 1 Ｂ． 1 2, 2 3, 3 4, 4 1 Ｃ． 1 2, 2 3, 3 4, 4 1 Ｄ． 1 2, 2 3, 3 4, 4 1

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）

1． 求矩阵A

1 2

1

的特征值和特征向量． 4

2． 计算n 1阶行列式

10

Dn 1

0an

0

3． 已知矩阵A 1

0

100

10 an 10

1a1 00

a01 11

40 2

3

1，且满足AXB C，求 0

0001

0 1

0，B 0 01 0 1

1，C 2 10

无

矩阵X.

4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

x1 x2 x3 x4 x5 1

3x1 2x2 x3 x4 3x5 3

x2 2x3 2x4 6x5 0

5x 4x 3x 3x x 5

2345 1

1

1

5． 已知矩阵A

6 6

2143

1 22 9

11 27

2 4

，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把其 4 9

余向量用该最大无关组线性表示．

1

6． 已知A为三阶矩阵，且A 2，求 A

12

1

3A

*

四、证明题（本题总计10分）

设向量组 1, 2, , n中前n 1个向量线性相关，后n 1个向量线性无关，试证： （1） 1可由向量组 2, 3, , n 1线性表示； （2） n不能由向量组 1, 2, , n 1线性表示. （试卷四）

一、填空题（本题总计16分，每小题2分）

1、按自然数从小到大为标准次序，则排列13 (2n 1)24 (2n)的逆序数为

2145

411625

8164125

2、4阶行列式D4

1

3、已知A 0

0

120

10

1 **

9，A为A的伴随矩阵，则 A 2

1

4、已知n阶方阵A和B满足BA A B，则 E B 5、已知A为m n矩阵，且R(A) r min{m,n}，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组

Ax 0的基础解系中包含解向量的个数为T

6、已知四维列向量 1 2513 、 2 101510 、 3 41 11 ，且

T

T

3 1 x 2 2 x 5 3 x ，则x

无

7、把向量 10

2

2 单位化得T

8、若三阶方阵A的特征多项式为f( ) ( 1)( 1)2，则A 2E

二、选择题（本题总计14分，每小题2分）

1、 已知a,b,c,d,k R，则以下等式正确的是( )

kaＡ． kc

b a k cd

b

d

kakcac

kbkdbd

acca

bd

Ｂ． k

Ｃ．

a cc

b d a d cb

d

Ｄ．

db

2、 设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（ ）

Ａ．若AB AC，则B C Ｂ．若AB 0，则A 0或B 0

Ｃ．若AB 0，则A 0或B 0 Ｄ．若A E 0，则A E 3、 设A是m n矩阵，且R(A) m n，则非齐次线性方程组Ax b( ) Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解 Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况 4、 向量组的秩就是向量组的（ ）

Ａ．极大无关组中的向量 Ｂ．线性无关组中的向量 Ｃ．极大无关组中的向量的个数 Ｄ．线性无关组中的向量的个数 5、 已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则B

1 1

Ａ．AC

1

( )

Ｂ．AC Ｄ．C

1

Ｃ．CA A

1

14

*

6、 设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A

，则(4A)

1

3A

*

（ ）

Ａ．Ｃ．

162712

Ｂ．

Ｄ．

162712

7、 已知n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵的秩等于n-3，且 1, 2, 3是Ax 0的三个

线性无关的解向量，则Ax 0的基础解系可为（ ） Ａ． 1 2, 2 3, 3 1 Ｃ． 1 2, 2 3, 3 1

Ｂ． 3, 1 2, 1 2 3 Ｄ． 1 2, 2 3, 3 1

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）

1． 计算n阶行列式

无

xaDn a

a

1

2． 已知三阶方阵A 1

1 1

3． 已知矩阵A 2

1

2 11

0 11

axa a

aax a

aaa

x

0 2 10，求(A 2E)(A 4E) 1

112

0

0，求AB BA. 1

1 0

0，B 2 00

4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

x1 x2 5

2x1 x2 x3 2x4 1 5x 3x 2x 2x 3

234 1

5． 判定向量组 1 (2,1, 1, 1), 2 (0,3, 2,0), 3 (2,4, 3, 1)的线性相关性。

1

2

6． 已知矩阵A

1 2 2

7． 已知A 0

4

121

TTT

10 11

2 101

21 22

2 2

，求矩阵A的秩及列向量组的一个最大无关组. 4 3

1 1

0，求可逆阵P，使得PAP为对角阵. 3

四、证明题（本题总计10分）

设 为非齐次线性方程组Ax b的一个解， 1, 2 , r为对应齐次线性方程组的基础解系.试证：向量组 , 1, 2, , r线性无关。