海潮及滨海含水层地下水位变化的拟合与预测(3)

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

显然有A=

a2+b2及α=artga/b。cosωt或sinωt称为基波，而coskωt或sinkωt称为k次谐波。

∞

∞

若有一个函数Z(t)的周期为T，且在T内分段单调，则函数Z(t)可以用傅立叶级数表示：

Z(t)=a0+

∑

akcoskωt+

k=1

∑

bksinkωt (4)

k=1

式中a0、ak 、bk称为傅立叶系数。如果能够确定a0、ak、bk，则式(4)就能确定。

式(4)是由无限个谐波叠加而成，但对地下水位历时曲线来说，其采样样本容量是有限的，用傅立叶级数拟合只能取有限项。

设动态采样值为x(t): x1，x2，x3，......，xn。为了能应用式(4)，将等间距采样时间t1～tn视为0～2π，把时间t转化为1，2，.......，n。用傅立叶级数表示采样值变化，有：

x(i)=a

∧∧

+

∑(a

j=1

k

∧

jcos(2πji/n)+

bj

∧

sin(2πji/n)

式中j通常称为波数。如果一个水位历时曲线z(t)有p个不同周期的函数叠加而成，则z(t)的拟合表达式为[10]

:

z(t)=a0+

∑a

k=1

p

p

cos2πfpt+

∑b

k=1

p

p

sin2πfpt (5)

利用最小二乘法确定其中的傅立叶系数[11]，以Q表示误差平方和：

Q=∑{xi a0+∑apcos2πfpt+∑bpsin2πfpt}2 (6)

i=1

k=1

k=1

npp

(2) 周期函数的确定

对海潮和3个观测孔水位时间序列进行频谱分析(图4)，可以确定功率谱比较大时的频率值fp，当fp的个数确定之后，p值也就能够确定。ZK34、B8-3和ZK17孔各有11个比较大的功率谱，对应的频率即为所求的fp，海潮有7个比较大的功率谱，对应的频率即为所求的fp，见表1。利用MATLAB编程[12][13]求出傅立叶系数a0、ap、bp，见表2，从而确定其周期函数。

图4 海潮与观测孔水位频谱图(横轴为频率，纵轴为功率谱) Figure 4 Spectrum of the tide and water levels at the observation wells 表1 海潮与观测孔水位曲线的频率值

Table 1 Frequency of the tide and groundwater levels at the observation wells