分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉｇ＠ｉｒｓａ．ａｃ．ｃｎｗｅｂｓ．ｔｅ：ｗｗＷｌｃ豇ｇ．ｃｎ

１Ｉｅ｜：０１０—６４８０７９９５

中国图象图形学报

ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＩＭＡＧＥＡＮＤＧＲＡＰＨＩＣＳ

◎中国图象图形学报版权所有

中图法分类号：ＴＰ７５１．１论文引用格式：Ｔｉａｎ

文献标识码：Ａ

文章编号：１００６—８９６１（２０１４）０６－０８５２一０７

ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ

ｏｆＩｍａｇｅａｎｄＧｒａｐｈ—

Ｄ，ｘｕｅＤＹ，ＹａｎｇＹＪ．Ｆｍｃｔｉｏｎａｌ．０ｒｄｅｒｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌｍｏｄｅｌａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒ

ｉｃｓ，２０１４，１９（６）：８５２—８５８．［田丹，薛定宇，杨雅婕．分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法［Ｊ］．中国图象图形学报，２叭４，１９（６）：８５２—８５８．］［ＤＯＩ：１０．１１８３４／ｊ皓２０１４０６０５］

分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

田丹１’２，薛定宇１，杨雅婕２

１．东北大学信息科学与工程学院，沈阳１１０００４；２．沈阳大学信息工程学院，沈阳１１００４４

摘要：目的结合分数阶微积分理论和对偶理论，提出了一种与分数阶ＲＯＦ去噪模型等价的分数阶原始对偶模型。从理论上分析了该模型与具有鞍点结构的优化模型在结构上的相似性，从而可使用求解鞍点问题的数值算法求解该模型。方法使用求解鞍点问题的基于预解式的原始对偶算法对提出模型进行求解，并采用自适应变步长迭代优化策略提高寻优效率，弥补了传统数值算法对步长要求过高的缺陷。同时论证了确保算法收敛性的参数取值范围。结果实验结果表明，提出的分数阶原始对偶模型能够有效地抑制“阶梯效应”，保护纹理和细节信息，同时采用的数值算法具有较快的收敛速度。结论提出了一种分数阶原始对偶去噪模型，该模型可采用一种基于预解式的原始对偶算法进行求解。实验结果表明，提出的模型能有效改善图像的视觉效果，采用的数值算法能有效快速收敛。

关键词：图像去噪；变分法；分数阶梯度；鞍点问题；原始对偶；阶梯效应

Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒ

ｐｒｉｍａｌ ｄｕａｌｍｏｄｅｌａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｄｅｎｏｉｓｉｎｇ

ＴｉａｎＤａｎｌ广，ＸｕｅＤｉｎｇｙｕｌ，Ｙａｎｇ

Ｙａｊｉｅ２

１１０００４，吼ｉｎｎ

１１００４４，Ｃ＾ｉｎｏ

１．ｓｃ＾ｏｏｚ矿Ｊ恐加ｒｍⅡ￡ｉｏｎ５ｃ据Ｍｅ

ｏｎｄ

Ｅ凡ｇｉｎｅｅ矗增，Ⅳｏｎ矗ｅ邯≠ｅｒｎ‰ｉ睨瑚妙，ｓ＾ｅ７驴增

２．＆＾００２妒Ｊ，毛加ｒｍｏ勘凡Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉ增，Ｓ＾ｅｎ妒昭‰ｉ埘碓ｉｏｙ，ｓ矗ｅｎ弘昭

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ

Ｂｙｃｏｍｂｉｎｉｎｇｆｈｃｔｉｏｎａｌ

ｃａｌｃｕｌｕｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，

ａ

ｎｏｖｅｌｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌｍｏｄｅｌ，

ｉｔｓ

ｗｈｉｃｈｉｓｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｆｈｃｔｉｏｎａｌＲＯＦｍｏｄｅｌ，ｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ．

Ｗｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙａｎａｌｙｚｅ

ｃａｎ

ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｗｉｔｈｔｈｅ

Ｓｏｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｐｒｏｂｌｅｍ

ｏｎ

ｂｅｕｓｅｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｍｏｄｅｌ．

ＭｅｔｈｏｄＴｈｅｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄ

ｍｏｄｅｌ．

ｒｅｓｏｌｖｅｎｔｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｐｒｏｂｌｅｍｉｓｕｓｅｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｐｍｐｏｓｅｄ

ｃａｎ

Ｔｈｅａｄ印ｔｉｖｅｖａｒｉａｂｌｅｓｔｅｐｓｉｚｅｉｔｅｒａｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｕｓｅｄ，ｗｈｉｃｈ

ｉｍｐｍｖｅｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｅｍｃｉｅｎｃｙ，

ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｌ—

ａｎｄｒｅｍｅｄｙｔｈｅｓｔｅｐｓｉｚｅ１ｉｍｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｉｎｏｒｄｅｒｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｒａｎｇｅｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｉｓｇｉｖｅｎ．

ｔｏ

ｇｕａｒａｎｔｅｅ

ＲｅｓｌｌｌｔＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｍｐｏｓｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｐｒｉｍａｌ—

ｔｅｘｔｕｒｅ

ｄｕａｌｍｏｄｅｌｉｓｅｆｋｃｔｉｖｅｉｎａｖｏｉｄｉｎｇｔｈｅｓｔａｉｒｃａｓｅｅｆｆｅｃｔａｎｄｐｒｅｓｅｎ五ｎｇｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｆａｓｔｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｓｐｅｅｄ．

ｉｎｇ

ａｎｄｄｅｔａｉｌｉｎｆｂｒｍａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅａｄｏｐｔｉｖｅ

ａ

ｎｕ—

Ｃ佣ｃｌｕｓｉｏｎ

Ｉｎ

ｔｈｉｓｐ印ｅｒ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅ

ｏｎ

ｆｈｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌｄｅｎｏｉｓ—

ｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈ

ｃａｎ

ｃａｎ

ｂｅｓｏｌｖｅｄｂｙ

ａ

ｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄ

ｒｅｓｏｌｖｅｎｔ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄ

ｍｏｄｅｌ

ｉｍｐｍｖｅｔｈｅｉｍａｇｅｖｉｓｕａｌｅｆｋｃｔｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄｔｈｅａｄｏｐｔｉｖｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｆａｓｔｅｒｃｏｎＶｅｒｇｅｎｃｅｓｐｅｅｄ．

ｉｍａｇｅ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｆ怡ｒｔ

ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ；

ｖａｒｉａｔｉｏｎ

ｍｅｔｈｏｄ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒｇｒａｄｉｅｎｔ；ｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｐＩＤｂｌｅｍ；ｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌ；

ｓｔａｉｒｃａｓｅ

收稿日期：２０１３一ｌＯ一１３；修回日期：２０１４一叭一１４

基金项目：国家自然科学基金项目（６１２０１３７８）；国家级“大学生创新创业训练计划”项目（２０１３１１０３５００６）；辽宁省教育厅科学研究一般项

目（１２叭３４４８）

第一作者简介：田丹（１９８０一），女，讲师，东北大学系统仿真与应用专业在读博士研究生，主要研究方向为数字图像处理、分数阶微积分理论的应用。Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｗｗ．ｓｌｔｄ２００８＠１６３．ｃｏｍ

万方数据