2013届高考数学(理)一轮复习课件：选修4-1几何证明选讲第1讲 平行截割定理与相

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第1讲 平行截割定理与相似三角形

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【2013年高考会这样考】 考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影 定理的应用. 【复习指导】 复习本节时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即 可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为 主，掌握好解决问题的基本技能即可.

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基础梳理 1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 ，那么 在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 相等 . ②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一 腰.

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(2)平行截割定理及其推论 ①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得 的对应线段成 比例 . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),截得的三角形与原三角形的对应边 成比例 . (3)三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于 夹角 两边长 度的比. (4)梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

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2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理 a.两角对应相等的两个三角形相似. b.两边对应成比例且夹角 相等 的两个三角形相似. c.三边 对应成比例 的两个三角形相似. ②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似. ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

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(2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等 于相似比的平方

.

(3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜 边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上 射影 的乘积.

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双基自测 1.如图所示，已知a∥b∥c,直线m、n分 2.别与a、b、c交于点A,B,C和A′,B′,C′, 3 3.如果AB=BC=1,A′B′=2, 4.则B′C′=________. 解析 答案 由平行线等分线段定理可直接得到答案. 3 2

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2.如图所示，BD、CE是△ABC的高， BD、CE交于F,写出图中所有与△ACE 相似的三角形________. 解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而

它们均相似，又易知∠BFE=∠A,故Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案 △FCD、△FBE、△ABD

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3.(2011· 西安模拟)如图，在△ABC中， M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM 交于点O,那么△MON与△AOC面积的 比是________. 解析 1 ∵M、N分别是AB、BC中点，故MN綉2AC,

S△MON MN2 1 ∴△MON∽△COA,∴ = 2= . S△AOC AC 4 答案 1∶4

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4.如图所示，已知 DE∥BC,BF∶EF =3∶2,则 AC∶AE=______,A

D∶ DB=________. 解析 AE DE EF ∵DE∥BC,∴AC=BC =BF.

AE EF 2 ∵BF∶EF=3∶2,∴AC=BF=3.∴AC∶AE=3∶2. AB 3 同理 DE∥BC,得 AB∶AD=3∶2,即AD=2. AD 2 AD 2 ∴ AB =3,即 = =2. AB-AD 3-2 AD 即BD=2.∴AD∶BD=2∶1. 答案 3∶2 2∶1

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5.(2010· 广东)如图，在直角梯形 ABCD 中， a DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= , 2 点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点， 则 EF=________.

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a 解析 连接 DE 和 BD, 依题知， EB∥DC, EB=DC= , ∴EBCD 2 为平行四边形，∵CB⊥AB,∴DE⊥AB,又 E 是 AB 的中点， 1 故 AD=DB=a,∵E,F 分别是 AD、AB 的中点，∴EF= DB 2 1 =2a. a 答案 2

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考向一

平行截割定理的应用

【例 1】 (2011· 广州测试(二))在梯形 ABCD 中，AD∥BC,AD AE =2,BC=5,点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 EF∥AD,若 EB 3 = ,则 EF 的长为________. 4 [审题视点] 把梯形的两腰 BA、CD 分别延长交于一点，利用平 行截割定理可求解.

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解析

PA 如图所示，延长 BA、CD 交于点 P,∵AD∥BC,∴ = PB

AD 2 = , BC 5 PA 2 AE 3 AE 3 ∴ = ,又∵ = ,∴ = , AB 3 EB 4 AB 7 PA 14 PA 14 ∴AE= 9 ,∴PE=23.∵AD∥EF, AD PA 14 23 ∴ EF =PE=23,又 AD=2,∴EF= 7 . 答案 23 7

在解题时要注意添加辅助线.

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【训练 1】 如图，在△ABC 中，DE∥BC, EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF=1,则 AB 的长为________. DE∥BC, 由 EF∥CD, BC=3,DE=2 AE AF DE 2 = = = ,又 DF=1, AC AD BC 3

解析

故可解得 AF=2,∴AD=3, AD 2 9 又 AB =3,∴AB=2. 9 答案 2

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考向二

相似三角形的判定和性质的应用

【例 2】 已知，如图，在△ABC 中，AB=AC,BD⊥AC,点 D 是垂足. 求证：BC2=2CD· AC. [审题视点] 作 AE⊥BC,证明△AEC 和△BDC 相似即可.