中国股票市场收益率分布特征探索(2)

股票预测

第４期邝志飞，唐邵玲　中国股票市场收益率分布特征探索１０１

区间很小时，收益率的分布密度函数在尾部呈厚尾特征。从最早的Ｂ．　Ｂ．　Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ和Ｆａｍａ，到最近的Ｈｉｓｈ和Ａｎｄｅｒｓｏｎ的研究均表明，股票市场及其它金融资产收益率表现为非正态分布特性，用正态分布来描述往往效果很差。虽然基于正态分布假设的有效市场理论，因其科学、严谨、简洁而最终成为现代金融经济学的支柱理论之一，但有效市场理论在解释实际金融现象时遇到了很多问题，如日历效应、规模效应、股

［２］权溢价之谜、封闭式基金之谜。

于财富的杠杆效应。我们之所以称其为分形分布，是因为它是一个具有统计自相似性的概率密度函数，也就是说，在不同的时间增量下，统计特征保持相同。分形分布得到广泛应用的原因至少有以下几方面：

１）大量研究表明很多的随机变量服从非正态的分形分布；

２）广义中心极限定理表明，对独立同分布随机变量的和进行适当的标准化处理后，如果极限分布存在，则此分布一定属于分形分布族；

３）由于许多大型数据集具有胖尾、尖峰特征，用正态分布描述效果不好，而用分形分布去逼近却可以取得比较理想的效果。

分形理论创始人Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ早在２０世纪６０年代就研究了棉花价格的变动，导致经济系统中自相似性的发现和阐述，价格每一次特定的变化是随机的和不能预言的，但成串的变化又是与时间标度无关的，价格的日变化和月变化曲线非常相似，发现资本市场收益率曲线不符合正态分布，而是服从分形分布，这种分布在均值处有高峰，也有胖尾，其特点是“方差”无穷大，倾向于有趋势和循环，同时也有突然的和不连续的变化。但分形分布的密度函数没有一个统一的解析表达式，它的特征函数为：

；

。

２

２．１

分形分布

分形分布的特征函数及参数[3]

实际金融数据往往具有尖峰厚尾特性，而分形分

布能很好地刻划数据的尖峰厚尾特征。在经济文献中，分形分布（ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）又称为Ｐａｒｅｔｏ分布

［４］

、Ｐａｒｅｔｏ－ｌｅｖｙ分布或Ｓｔａｂｌｅ－Ｐａｒｅｔｉａｎ分布。该分布的性

质最早是由　Ｌｅｖｙ（１９３７）推导出来的，而他的工作又是以　Ｐａｒｅｔｏ（１８９７）有关收入分布的研究工作为基础的。Ｐａｒｅｔｏ发现，占个人收入９７％的收入分布接近对数正态分布，但对于其余３％的收入被发现迅速增加，且服从逆幂规律，从而产生胖尾特征。产生的原因在

其中：Ｘ是随机变量；ｔ是任意实数；ｉ是虚数单位。

分形分布的特征函数由４个参数决定，即α，β，δ，γ。α，β是２个关键参数，４个参数的不同组合产生不同的分形分布形式。各参数的取值范围及意义说明如下：

１）参数α称为分形分布的特征指数，０＜α≤２，它不仅刻画了分布的尖峰、肥尾特征，即分布在尾部极端取值的概率以及密度函数的高度，同时它也决定该分布的矩、随机变量和的分布及其标准化特征。当α＝２时，分形分布就是正态分布；当０＜α＜２时，分形分布相对正态分布就有更厚的尾部，且α的值越小，分布在尾部取极端值的概率越大。同时，对于该分布只有当α＝２时，才有有限的方差；只有当α＞１时，均值才存在。

２）参数β称为偏度指数，－１≤β≤１。当β＝　０时，分形分布关于δ对称；当β＞０时，分布右偏；当β＜０时分布左偏。β的绝对值越大，偏斜的程度越大。

３）参数δ是分布的位置参数，δ∈（－∞，＋∞）。当特征参数α＞１时，δ是分布的均值；当α≤１时，分布没有均值。δ表示分形分布的中心位置，当分形分

布被标准化时，δ表示均值且为０。

４）模参数γ∈（０，＋∞），控制分形分布曲线的宽度。当γ越大时，分形分布越宽，反之，分形分布则越窄。当α＝２，分布退化为正态分布时，γ是正态分布的标准差；当α＜２时，分形分布的方差不存在，γ不代表方差。２．２

分形分布的基本性质［５］１）矩特性

胖尾特性产生的结果之一就是——

不是所有的矩都存在。在多数统计问题中，一阶矩（均值）Ｅ（Ｘ）和二阶矩（方差）Ｖａｒ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－（Ｅ（Ｘ））２常被用来描述统计分布。然而，对于胖尾分布来说，这些不是普遍有用，因为这些表达式是发散的。当０＜α＜２时，对于任意ｐ∈［０，α］，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ是有限的，但是对于ｐ≥α，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ＝＋∞。因此，当０＜α＜２时，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ　＝＋∞，这时分形分布就没有有限的二阶矩或方差；当１＜α≤２，Ｅ｜Ｘ｜＜＋∞，并且ＥＸ＝δ１＝δ０－βγ

０

２）稳定性

。

Ｌｅｖｙ（１９３７）指出，如果对于所有

的ｂ１、ｂ２＞０时，Ｆ（ｘ）满足下列关系式：

Ｆ（ｘ／ｂ１）　Ｆ（ｘ／ｂ２）＝Ｆ（ｘ／ｂ

），