小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析(七~三)应用题

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小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析（七之三）应用题

（三）应用题 1.一般应用题

【和差的问题】

例1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人。四个班的总人数是_____。 （1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。则乙、丙两班总人数的3倍就等于（131+134-l）=264人。所以，乙、丙两班共有246÷3=88（人）。然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。

例2 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有____幅。 （1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1幅画。所以六年级共有12幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即3幅。

例3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事。每人都认某一个故事开始按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有_____个。 （1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。 乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事按顺序往后读,所以甲读了75个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面12个故事。故答案是12个。 例4 某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（ 1人1天为1个工作日），且无 1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共____人。 (北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。）

讲析：到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为 240×30=7200（个）。 而8070-7200=870（个）。

可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。

设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a人做29天，a人做28天，a人做27天， a人做1天。 所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得a=2。 故，共派到分厂的工人为2 × 30= 60（人）。 【积商的问题】

例1 王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？ （1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题）

讲析：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷（2.5-1）=12（小时）。 原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时） 于是，改进前每小时加工的便是1500÷30=50（个）， 改进后每小时加工的便是1500÷12=125（个）。

例2 现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。原来两种硬币各有多少个？ （1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）

讲析：我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）个。 由题意得：2（x+24）÷5=x-6。 解得：x=26，即5分币有26个。 于是，2分币便有 26+24=50（个） 2.典型应用题

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【平均数问题】

例1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15千米的速度前进，回时以每小时30千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？

（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题）

讲析：我们不能用（15+30）÷2来计算平均速度，因为往返的时间不相等。只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。

所以，往返的平均速度是每小时

例2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只猴子可得____粒。 （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子

于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生

例3 某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分和81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？

（全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知 2.5×男生数=3×女生数。 2.5∶3=女生数：男生数 即 男生数：女生数=6:5。

例4 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。 （1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：设原来一等奖每人平均是a分。二等奖每人平均是b分。则有： 10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1） 即：a-b=10. 5。

也就是一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。 【行程问题】

例1 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相柜______米。 （ 1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

讲析：如图5.30，当乙丙在D点相遇时，甲已行至C点。可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离AD的时间。

乙每分钟比甲多走 10米，多少分钟就多走了CD呢？而CD的距离，就是甲、丙2分钟共行的距离：（70+50）×2=240(米）。

于是可知，乙行AD的时间是240÷10=24（分钟）。 所以，AB两地相距米数是（70+60）×24=3120（米）

例2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行走4千米，李强每小时行走5千米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1、3、5、7 （连续奇数）分钟数调头行走。那么，张、李两个人相遇时是8点_____分。

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（1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）

（千米）=150（米）

他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米） 所以，只要再相向行走1200÷150=8（分钟），就可以相遇了。从而可知，相遇所需要的时间共是 1+3+5+7+7+8=24（分钟） 也就是相遇时是8点24分。

例3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟，10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？ （全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析：如图5.31所示，A点是三车的出发点，三车出发时骑车人在B点，A1、A2、A3分别为三车追上骑车人的地点。

快车走完2.4千米追上了他。由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是 AB=2.4-1.4=1（千米）。 所以，慢车的速度是：

例4 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％。则可提前40分钟到达。那么，甲、乙两地相距______千米。 （1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。

因为车速与时间成反比，当车速提高20％时，所用时间缩短为原来的

例5 游船顺流而下每小时行8千米，逆流而上每小时行7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回。

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乙船逆流而上，然后返回，经过2小时同时回到出发点，在这2小时中，有______小时甲、乙两船的航行方向相同。 （上海市第五届小学数学竞赛初赛试题）

讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。 因为两船2小时同时返回，则两船航程相等。又上行船速是每小时行

7

例6 甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行，第一次在离A城30千米处相遇。相遇后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离A城42千米处第二次相遇。求A、B两城的距离。 （《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题）

讲析：如图5.32所示。两车第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。

甲、乙两车从开始到第一次C点相遇时，合起来行了一个全程。此时甲行了30千米，从第一次相遇到第二次D点相遇时，两车合起来行了两个全程。在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B两城的距离是30＋36=66（千米）。

例8 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。那么A、B两地的距离等于____千米。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：根据甲、乙两车的速度比为3∶7，我们可将A、B两地平均分成10份（如图5.33）。

因为甲、乙两车速度之比为3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它们第一次在a3处相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7与a8之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9点第三次两车相遇；甲走6份，乙走14份在a5点第四次两车相遇。

（千米）。

例9 在400米环形跑道上， A、B两点相距100米（如图5.34）。甲、乙两人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要____秒钟。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：各跑100米，甲比乙少用的时间是100÷4-100÷5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑100米，需20秒钟。由20÷5=4（个百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。这样便刚好追上乙。 甲跑完（400+100）米时，中途停了4次，共停40秒钟。故20×5+40=140（秒）。

当乙跑完400米以后，停了10秒，甲刚好到达同一地点。所以，甲追上乙需要140秒钟。

例10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二

第一次相遇点190米，问这条环形跑道长多少米？ （全国第四届“华杯赛”复赛试题）

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讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。于是，从出发点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在AB线段上的往返跑步（如图5.35）。跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是3∶2。当甲从

原速跑到A点。

（个）全程，即刚好到达D点。

所以，在AD段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难求得

例11 图5.36，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑，父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？

（全国第二届“华杯赛”复赛试题）

讲析：容易计算出，父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点，儿子经过152秒刚好跑完2圈到达A点，儿子比父亲慢2秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。

因为A到B弯道长200米，儿子每跑100米比父亲快一秒，可知恰好在B点追上父亲。 即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。

例12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆大客车，它的速度是每小时48千米。这辆车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是____。 （1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。

设甲班先步行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图5.37所示。AB、CD分别表示甲班和乙班步行距离。

当甲班从A地行至B地时，汽车共行了：AB+2·BC。 又汽车速度是甲班的12倍，所以

同理，当乙班从C地行至D地时，汽车共行了CD+2·BC。 又，汽车速度是乙班的16倍，所以

AB∶CD=15∶11。

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即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。

例13 王经理总是上午8点钟乘公司的汽车去上班。有一天，他6点40分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。因此，王经理这天比平时提前16分钟到达公司。那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。 （《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题）

讲析：如图5.38，A点表示王经理家，B点表示公司，C点表示汽车接王经理之处。

王经理比平时提前16分钟到达公司，而这16分钟实际上是汽车少走了2·AC而剩下的时间，则汽车行AC路程需要8分钟，所以汽车到达C点接到王经理的时间是7点52分钟。 王经理步行时间是从6点40分到7点52分，共行72分钟。 因此，汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9（倍）。 【倍数问题】

例1 仓库里有两个货位，第一货位上有78箱货物，第二货位上有42箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多2倍。两个货位上各运走了多少箱货物？ （1994年天津市小学数学竞赛试题）

讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆货物多2倍。即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。

所以，42的3倍的积与78的差，就是两堆中各运走货物的箱数的2倍。故两个货位各运走的货物箱数是（42×3-78）÷2=24（箱）。

例2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？ （全国第二届“华杯赛”复赛试题）

讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。

如果评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，每个一等奖的奖金为：0

例3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍。那么，甲、乙两个小朋友共有糖____粒。 （1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）。

讲析：甲给乙一定数量的糖之后，甲是乙的2倍。这说明甲乙两个糖数之和是3的倍数；同理，乙给甲一定数量的糖后，甲是乙的3倍，这说明甲乙两个糖数之和又是4的倍数。 所以，甲、乙两人糖粒总数一定是12的倍数。

又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙两个糖数之和应为12、24、36中的一个数。

经检验，当总糖数是24时，即甲为17粒、乙为7粒时，符合要求。即两个小明友共有糖24粒。

例4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场。一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？ （全国第一届“华杯赛”决赛试题）

讲析：原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数。

后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满。即人数是13的倍数。

因此，原来每校参加的人数都是15的倍数。而加1之后，是13的倍数。 即求15的某个倍数恰等于13的倍数减1。

因为15×6=90，13×7=91，所以，两校各有92人参加竞赛。

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从而可知，两校共有184人参加竞赛。 【年龄问题】

例1 小明今年5岁，爸爸的年龄是小明的7倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的3倍？ （1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）

讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3倍时，小明的年龄是多少岁： （5×7-5）÷（3-1）=15（岁）。

故，再过10年，爸爸的年龄是小明年龄的3倍。

例2 今年祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的5倍。又过几年后，祖父年龄是小明年龄的4倍。问：祖父今年多少岁？

（全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题）

讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的6倍。所以，年龄差是小明年龄的5倍，即一定是5的倍数。

同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的5倍和4倍，可知年龄差也是4和3的倍数。而年龄差是不变的。

由3、4、5的公倍数是60、120、 可知，60是比较合理的。所以， 小明今年的年龄是60÷（6-1）=12（岁）； 祖父今年的年龄是12×6=72（岁）。

例3 1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的？ （长沙地区数学竞赛预选赛试题）

讲析：设若干年前，妹妹的年龄为x岁，则现在妹妹为2x岁；姐姐在“若干年前”那一年的年龄也为2x岁，则姐姐现在的年龄为3x岁。

由2x+3x=55，可知，x=11。

所以，今年姐姐的年龄是3×11=33（岁）。 故姐姐是1960年出生的。 【时钟问题】

例1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈。开始时三针重合。问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（不计起始和终止的位置） （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：如图5.39，设时针和分针第一次在B点重合。从开始到重合，时针走了AB，而分针走了一圈后再又走AB。

例2 7点____分的时候，分针落后于时针100°。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：7点整时，分针落后于时针210°，时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，依照追及问题有： （210-100）÷（6-0.5）=20（分钟）。

故，在7点20分钟的时候，分针落后时针100°。 【其他问题】

例1如图5.40是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满。 问：这堆棋子原有多少枚？

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（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，还多余12枚，若把这个正方阵每边各加一枚棋子时，其贴边加上的棋子为12+9=21（枚）。

所以，新方阵每边棋子数为（21+1）÷2=11（枚）。从而可知，原来这堆棋子共有11×11-9=112（枚）。

例2 小玲从家去学校，如果每分钟走80米，结果比上课时间提前6分钟到校；如果每分钟走50米，则要迟到3分钟，小玲的家到学校的路程有多远？ （西南地区小学数学竞赛试题）

讲析：本题属于盈亏问题，提前6分钟和迟到3分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差30米而造成的。 ∴（80×6+50×3）÷（80-50）=21（分钟）； 80×（21-6）=1200（米） 即小玲家到学校有1200米。 3.复杂分数应用题

【复杂的一般分数问题】

例1 已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％。那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？ （全国“幼苗杯”小学数学竞赛试题）

讲析：关键是要求出甲、乙两校学生数，分别占两校总人数的几分之几。 因为甲校学生数是乙校学生数的40％，所以，甲、乙两校学生数之比为

所以，两校女生占两校学生总数的

例2 有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％。那么，这堆糖中有奶糖____块。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

16块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。

例3 某商店经销一种商品，由于进货价降低了8％，使得利润率提高了10％。那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是百分之几？

（长沙市奥林匹克代表队集训试题） 讲析：“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率。

设这种商品原进价为每件a元，出售后每件获利润b元。那么 现进价为每件 （1-8％）×a=92％a（元），

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例4 学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有一同学问老

（1992年小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：本题的关键是要注意“时间”和“时刻”这两个概念的区别。 从早晨6点到中午12点共有6小时，从中午12点到下午6点40分共有

设从中午12点到“现在”共a小时，可列方程为

解得 a=4。

所以，现在的时间是下午4点钟。 【工程问题】

例1 一件工作，甲做5小时后，再由乙做3小时可以完成；若乙先做9小时后，再由甲做3小时也可以完成。那么甲做1小时以后，由乙做____小时可以完成？ （1987年北大附中友好数学邀请赛试题）

讲析：因为“甲做5小时，乙做3小时可以完成”；或者“甲做3小时，乙做9小时也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做9-3=6（小时）的工作量。 即：甲做1小时，相当于乙做3小时。 由“甲做5小时，乙再做3小时完成”，可得：甲少做4小时，就需乙多做3×4=12（小时）。 所以，甲做1小时之后，还需要乙再做3+12=15（小时）才能完成。

例2 如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两根水管，1小时20分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分可以灌满。那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水需要____小时。 （1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：关键是求出乙的工作效率。

例3 一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成；乙队单独做

时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

讲析：甲、乙两队合做，则工效可提高20％，所以每天可以完成

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例4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可以完成一项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务。 （全国第四届“华杯赛”决赛试题）

所以，同样交换A与B，C与D之后，全组每小时可以完成：

例5 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。甲工地的工作量是乙工

已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天。那么，这批工人有____人。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是

把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的

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所以，一天中去甲、乙工地人数之比为：

例6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要

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丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）

有当开到甲水管时，水才会溢出。

溢出。

的思路是在假设要打开水管若干个循环之后， 水才开始

开始溢出。所以，这样解的思路是错误的。 4.比和比例应用题 【求比的问题】

例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是2∶3，第二个容器中盐与水的比是3∶4，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是____。 （无锡市小学数学竞赛试题）

则混合溶液中，盐与水的比是：

某电子产品去年按定价的80％出售，能获利20％，由于今年买入价降

（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

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即：

【比例问题】

例1 甲、乙两包糖的重量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7∶5 那么两包糖重量的总和是____克。

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

例2 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精含量为25％，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是____升。 （1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为25％，所以，乙容器中酒精与水的比为25％∶（1-25％）=1∶3 第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5∶15=1∶3 又甲容器中纯酒精含量为62.5％，则甲容器中酒精与水的比为62.5％∶（1-62.5％）=5∶3

第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为5∶3，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份，水作3份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升） 6升算作4份，这样可恰好配成5∶3。

而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1＋3=4（份），所以也应是6升。 5.杂 题

例1 一次考试共有五道题，考后成绩统计，做对第1、2、3、4、5题的人数分别占全部参考人数的81％、91％、85％、79％、74％。若做对三道以上（含三道）题目为考试及格，那么这次考试的及格率至少是____％。 （1993年台北市数学竞赛试题）

讲析：设共有100名学生参加考试，则他们一共做错的题数为：19+9+15+21+26=90（道）。 因90÷3=30（人）。

可将错题90道集中到30人身上，且每人恰错3题，是办得到的。 所以，至多有30人不及格，至少有70人及格，故及格率为70％。

例2 某商店有一不准确天平（其臂不等长）及1千克砝码，一位顾客要购2千克糖果，售货员将1千克砝码放于左盘， 置糖果于右盘，使之平衡后，将糖给顾客；然后又将1千克砝码放于右盘，另置糖果于左盘，平衡后，将糖给顾客；这样称给顾客的2千克糖果是公平的呢，还是顾客吃亏或者商店吃亏？ （1992年独联体数学夏令营试题）

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由于互为倒数的两数之和不小于2，

所以，称给顾客的糖果大于2千克，商店吃了亏。

例3 下表列出去年老人节钓鱼比赛的选手钓鱼条数及人数：

已知冠军钓到15条鱼；钓3条或更多条鱼的人平均每人钓到6条鱼；钓12条或更少条鱼的人平均每人钓到5条鱼。那么，所有选手共钓了__条鱼。

[第11届美国数学邀请赛（AIME）试题]

讲析：设一共有x人参加钓鱼，则钓3条鱼以下的人数为9+5+7=21（人），他们共钓鱼条数为1×5+2×7=19（条）。 所以，钓鱼总数为6×（x-21）+19=6x-107（条）。 同理，钓12条鱼以上的人数为5+2+1=8（人），他们共钓鱼：13×5+14×2+15×1=108（条）。 所以，钓鱼总数为5×（x-8）+108=5x+68（条）。 根据以上分析，得：

6x-107=5x+68，解得x=175。

所以，所有选手共钓鱼5×175+68=943（条）。

例4 有长度分别为1、2、3、 、9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？

（1994年长沙市奥林匹克代表队集训试题）

讲析：九条线段长度各不相同，所以组成一个正方形至少需要7条，最多需要9条线段。 （1+2+3+ +7）÷4=7，（1+2+3+ +9）÷4≈11 则组成的正方形边长最短为7厘米，最长为11厘米。 ①当边长为7厘米时

7=1+6=2+5=3+4， 有一种组法： ②当边长为8厘米时

8=1+7=2+6=3+5， 有一种组法： ③当边长为9厘米时，

9=1+8=2+7=3+6=4+5， 有五种组法： ④当边长为10厘米时，

1+9=2+8=3+7=4+6， 有一种组法： ⑤当边长为11厘米时

2+9=3+8=4+7=5+6， 有一种组法： 所以，一共有9种组法。

例5 要在一个圆周上标出一些数，每一次先把圆周二等分，在两个分点

数之后，圆周上所有已标的数的总和是__。

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（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：设每次标出的分点之和为a1、a2、a3、 、a8。则有：

从而，每一个数，都是前一个数的3倍。 所以，a1+a2+a3+ +a8

例6 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是0，或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5次得到的环数之积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。 （全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：因为1764=1×2×2×3×3×7×7。

而每环数是不超过10的自然数，或者是0，所以甲、乙两人每人都有两个7环。而其它3环为1×2×2×3×3的因数（环数不能为0，否则积为0）。于是，两个人5次的环数有五种情况： （7、7、1、4、9）；（7、7、1、6、6）；（7、7、2、2、9）； （7、7、2、3、6）；（7、7、3、3、4）。

因为甲的总环数比乙少4环，所以甲为24环（7、7、3、3、4），乙为28环（7、7、1、4、9），总环数为52环。 例7 唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第几次指令，米老鼠就以原来的速度的n×10％倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是__次。 （1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

讲析：按正常速度赛跑，米老鼠比唐老鸭快10000÷100-10000÷125=20（分）。

设唐老鸭共发出n次指令。米老鼠共退回的总路程是：125×10％×（1+2+3+ +n）。 则米老鼠共跑完的路程是：[10000+125×10％×（1+2+ +n）]。 加上路途倒退的时间n分钟，它应该大于唐老鸭所跑的时间100秒。即 [10000+125×10％×（1+2+3+ +n）]÷125+n＞100。 也就是 n×（n+1）＞400-20n。

经过试验，当n≥13时，上面式子成立。故，唐老鸭至少要发出指令13次。

例8 如图5.42，A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分，蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步

续起跳。当它经过一次特别通道，圆的半径就增加一倍。已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于__米。

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（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：我们将圆的半径每增大一次作为一个阶段。1米=1000毫米，

第一阶段，要使从B点出发，刚好跳到A点，必须使（500+1000×n1）能被375整除，即当n1=1时成立。此时共跳了4次，圆的周长由1米变成了2米。

第二阶段，要使从B点出发，刚好跳到A点，必须使（1000+2000×n2）能被375整除，即当n2=1时成立。此时又跳了16次，圆的周长变为了4米。

由此看来，每跳4次、8次、16次、32次、64次、128次、256次等后，周长就变为2米、4米、8米、16米、32米、64米、128米等。

而（4+8+16+32+64+128+256）+512 =508+512=1020＞1000。

所以，当蓝精灵跳完1000次后，周长便等于128米。