2014年高考数学专家讲坛 把脉考向：第3讲 函数与方程思想、数形结合思想(含名

第三讲 函数与方程思想、数形结合思想

真题试做 ———————————————————

1．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝43A. B. 3434C D．－

432．

(2013·高考浙江卷)

10

，则tan 2α＝( ) 2

已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)

3．(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，( )

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

4．(2013·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

思想诠释 ———————————————————

1．函数与方程思想

2.

典例示范 ———————————————————

类型一 利用函数与方程思想解决方程、 不等式问题

(2013·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)．

【思路点拨】 (1)利用导数解不等式，即可得到单调区间． (2)构造函数通过函数的单调性证明方程只有唯一解．

(1)本题第(2)问证明的关键是构造函数h(x)＝f(x)－t，利用第(1)问的结论，

判断函数值的符号，从而问题可以证明．

(2)解决一些不等式恒成立问题，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．

强化训练1 已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有的实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．

类型二 利用函数与方程思想解决数列问题

(2013·浙江省各校新高考研究联盟第一次联考)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝

9·2n1，n∈N*.

－

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

【思路点拨】 (1)由n＝1，2得出两特殊等式，可求得a1和q，问题即可解决；(2)由(1)

可求出Sn，进而求出k与n的不等关系，构造关于n的函数，利用函数性质求解．

(1)数列一般包含着多个基本量，如首项、公差(公比)、项数、前n项和等．在

知道一些量求其他未知量时，通常用方程的思想考虑．

(2)数列的通项公式、前n项和公式是特殊的函数，对于数列的最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的具体应用．

强化训练2 (1)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

11

A. B3311C. D．－ 99

1(2)已知函数f(x)＝3，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为( ) A．－1 B．1 22C. D．－ 33

类型三 利用数形结合讨论方程的解

(2013·高考天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

【思路点拨】 将函数零点视为两个函数图象的交点，分别画出函数图象，利用数形结

x

合求解．

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方

程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

2 x＋bx＋c，x≤0，

强化训练3 设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方

2， x>0.

程y＝x的解的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

类型四 运用数形结合思想求解参数的范围 及最值问题

(1)(2013·高考重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的

动点，则|PQ|的最小值为( )

A．6 B．4 C．3 D．2

2

x＋4x，x≥0

(2)(2013·梅州模拟)已知函数f(x)＝ ，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围2

4x－x，x<0

是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)

C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

【思路点拨】 (1)求|PQ|的最小值，转化为求圆心到直线的距离． (2)作函数f(x)的图象，结合图象进行求解．

(1)数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图

形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论．

(2)在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会被快速解决．

强化训练4 设x0是函数f(x)＝a|x|－logb|x|的一个零点，其中0<a<1，b>1，则有( ) A．x0∈(－1，1) B．x0∈(0，b)

C．x0∈(－b，－1)∪(1，b) D．x0∈(－b，－1)∪(0，1)

方法感悟 ——————————————————— 1．函数与方程思想在高考试题中主要以六个方面思考和切入

(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数性质或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通

项或前n项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．

2．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点

(1)集合的运算及Venn图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．

3．运用以上两种数学思想解题时的注意事项

(1)运用函数思想时注意函数的定义域；(2)运用方程思想时注意方程解的合理性；(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证.

体验真题·感悟思想_

5

1．【解析】选C.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α即3cos2

233

α＋4sin αcos α＝所以3cos2α＋4sin αcos α＝(sin2α＋cos2α)，即3tan2α－8tan α

222tan α13

－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－tan 2α＝＝－. 341－tanα

2．【解析】选B.从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．

3．【解析】选A.当0<a≤b时，显然2a≤2b，2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b

＋3b成立．∴它的逆否命题：若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．当0<a≤b时，

∴由2a≤2b，2a<3b，知2a－2a与2b－3b的大小关系不确定，∴C不正确，同理D不正确．

4．【解析】

设x<0，则－x>0.

∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x， ∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)． ∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，

2

x－4x，x≥0，

∴f(x)＝ 2

x＋4x，x<0.

x2－4x＝5 x2＋4x＝5，

由f(x)＝5得 或

x≥0x<0，

∴x＝5或x＝－5.

观察图象可知由f(x)<5，得－5<x<5. ∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3. ∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}． 【答案】{x|－7<x<3} __

【例1】【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

1. 所以函数f(x)的单调递减区间是 0，

，单调递增区间是 ，＋∞ . e

(2)证明：当0<x≤1时，f(x)≤0. t>0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)． 由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)>0. 故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立． [强化训练1]【解】∵t∈2，8]， 11

∴f(t)∈，3]，从而m∈[，3]．

22

原题可转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立． 当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.

令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2为m的一次函数． 1

问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒大于0.

21 g（2）>0，

∴ 解得x>2或x<－1. g（3）>0，

故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 【例2】【解】(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵an＋1＋an＝9·2n1，n∈N*，

－

∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，

a3＋a218∴q＝＝2，

a2＋a19∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3. ∴an＝3·2n1，n∈N*.

－

a（1－qn）3（1－2n）(2)由(1)知，Sn＝＝＝3(2n－1)，

1－q1－21－

∴3(2n－1)>k·3·2n1－2，∴k<2－.

3·21

令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，

3·2155

∴f(n)min＝f(1)＝2，∴k<3335

∴实数k的取值范围为(－∞，)．

3

[强化训练2]【解析】(1)选C.设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

a1＋a2＋a3＝a2＋10a1， a1q2＝9a1， ∴ 4∴ 4 aq＝9，aq＝9， 1 1

1

解得a1＝，故选C.

9

1

(2)选D.由题设，得a1＝f(1)－c＝－c；

32

a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－；

9a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－又数列{an}是等比数列，

212

－＝ c × －，∴c＝1. ∴ 9 3 27a1又∵公比q＝

a23

1n2 1n－1 所以an＝－ 3＝－2 3，n∈N*.

3因此，数列{an}是递增数列，

2

2. 27

2

∴n＝1时，an有最小值a1＝－.

3【例3】

【解析】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 1可得|log0.5x|＝ 2.

1设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝ 2，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．

【答案】B

[强化训练3]【解析】选

C.

x

x

f（－4）＝f（0） f（－2）＝－2

16－4b＋c＝c b＝4， 4－2b＋c＝－2c＝2.

2

x＋4x＋2，x≤0，

∴f(x)＝ 这个函数的图象如图所示：

2， x>0.

可知直线y＝x与f(x)的图象有三个交点，故选C.

【例4】【解析】(1)如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝

4.

(2)

2 x＋4x，x≥0

作出f(x)＝ 的图象，如右图实线部分，由图象可知f(x)在定义域内是增函数． 2

4x－x，x<0

于是，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a －2<a<1，故选择C. 【答案】(1)B (2)C

[强化训练4]【解析】选C.f(x)的零点即两个函数y＝a|x|，y＝logb|x|的图象的交点，画出图象简图，可知答案为

C.