9(4)多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则一元复合函数 求导法则 微分法则

本节内容: 本节内容 多元复合函数求导的链式法则

链导法则) 一、复合函数的求导法则(链导法则 复合函数的求导法则 链导法则情形1 情形 复合函数的中间变量均为一元函数: 复合函数的中间变量均为一元函数定理1 定理 如果函数 u = ( t )及v = ψ ( t )都在点 t可导,函数 z = f ( u, v )在对应点( u, v )具有连续偏导数 具有连续偏导数, 则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且有链式法则: 且有链式法则 u z t dz z du z dv . = + v dt u dt v dt

定理推广 复合函数的中间变量多于两个的情况. 复合函数的中间变量多于两个的情况 中间变量多于两个的情况

如z = f ( u, v , w ), u = u( t ), v = v ( t ), w = w ( t )变量树图

z

dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dtdz 导数 称为全导数 又称链导公式 全导数( 链导公式). 称为全导数(又称链导公式). dt

u v w

t

情形2 情形 复合函数的中间变量均为多元函数: 复合函数的中间变量均为多元函数定理2 定理 如果u = ( x , y )及v = ψ ( x , y )都在点 ( x , y ) 具有对 x和y的偏导数 , 且函数z = f ( u, v )在对

应点( u, v ) 具有连续偏导数 则复合函数 具有连续偏导数,

z = f [ ( x , y ),ψ ( x , y )] 在对应点( x , y )的两个偏导数存在, 偏导数存在 且有链式法则

z z u z v , = + x u x v x z z u z v . = + y u y v y

z

u v

x y x y

定理推广： 定理推广： 中间变量多于两个的情形

设u = ( x, y), v =ψ ( x, y), w = ω( x, y)都在点( x , y )处具有对 x和y的偏导数 , 复合函数

的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算 的两个偏导数存在 且可用下列公式计算:

z = f [ ( x, y),ψ ( x, y),ω( x, y)]在对应点 ( x , y ) u v w

z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y

u

z

x

v w

y

多元复合函数的求导法则

例2 设z = e u sin v , u = xy , v = x + y , 求 z 和 z . x y z z u z v 解 = +

x

u x v x = e u sin v y + e u cos v 1

= e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )]. z z u z v = + y u y v y = e u sin v x + e u cos v 1= e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )].

多元复合函数的求导法则

练习 设 z = u + v + w , u = x + y , v = x y ,2 2 2

w = 2xy . 求 z x解

自己画变量树

z z u z v z w = + + x u x v x w x

= 2 u + 2v + 2 w 2 y

= 2( x + y ) + 2( x y ) + 2 2 xy 2 y

= 4 x + 8 xy .2

情形3 混合型 混合型) 情形 (混合型复合函数的中间变量既有一

元,又有多元 复合函数的中间变量既有一元 又有多元 函数的情形

dz 例3 z = uv + sint ,u = e , v = cos t , 求全导数 . dtt

解:

zdz z du = dt u dt z + t

u v t

t

t

= vet

+ cos t

= e t (cost sin t) + cos t

例4

u = f (x, y, z) = e

x2 + y2 +z2

, z = x sin y,2

u f = 解: x x= 2xex2 + y2 +z2

u u 求 , x y

u+2zex2 + y2 +z22 2

2 xsin y4 2

= 2 x (1+ 2 x2 sin2 y) ex u f f z + = y y z y

+ y +x sin y

x y z

x y

= 2ye

x2 + y2 +z2

+2ze

x2 + y2 +z2 x2 cos y

= 2 ( y + x sin y cos y ) e4

x2 + y2 +x4 sin 2 y

多元复合函数的求导法则

z z , 练习 z = e sin( x + y), 而u = xy, 求 x yu

解 变量树图

x u y

z f u f z x = + x u x x y u u = e sin( x + y ) y + e cos(x + y) z f u f = + y u y y= e u sin( x + y ) x + e u cos( x + y )

例52

f 具有二阶连续偏导数,

w w ′ w , f1′ , f2 求 , . x x z u v 解: 令 u = x + y + z , v = xyz , 则 w= f (u, v) x y zx y z w ′ + f2 yz x ′ + y z f2 (x + y + z, xyz) 2 w ′′ ′′ + f12 xy + f22 x y x z 2 f z f ′′ + y f 2 f ′′ ′′ ′ = f11 + ,y引入记号 + ′ = ,22f ′′ = 2 (x + z) f12 f xy ,L 为简便起见 1 12 u u v

练习 解:

z z dz = du + dv u v

( x y )(dx + dy ) + ( x + y )(dx dy )) = ( x + y )2 + ( x y )22 ydx 2 xdy . = 2 2 2x + 2 y

多元复合函数的求导法则

1992年研究生考题 计算 分 年研究生考题,计算 年研究生考题 计算,5分

例

设z = f (e x sin y, x 2 + y 2 ), 其中f (u, v )有

2z 连续的二阶导数, 连续的二阶导数 求 x y解 设 u = e sin y, v = x2 + y2x

z = f u e x sin y + f v′ 2 x ′ x 2z ′′ ′′ = f u′ e x cos y + e x sin y ( f uu e x cos y + f uv 2 y ) x y ′′ ′ + 2 x ( f vue x cos y + f vv′ 2 y ) 2x ′′ + 2e x ( y sin y = e sin y cos yf uu

′′ + 4 xyf vv′ + e x cos yf u′ ′ + x cos y ) f uv

多元复合函数的求导法则

三、小结链式求导法则) 多元复合函数求导法则 (链式求导法则 链式求导法则 “分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导” 分段用乘, 分叉用加, 单路全导,叉路偏导 叉路偏导” 分段用乘 全微分形式不变性 是自变量还是中间变量, 不论 u , v 是自变量还是中间变量

d z = fu (u, v) d u + fv (u, v) d v

多元复合函数的求导法则

备用题 设 z =

1

u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z 自己画变量树 x z z u z v z w 解 = + + x u x v x w x

, u = x + y, v = x y,

1 2 z = ( u + v 2 + w 2 ) 2u 2 u 3 2

w = 2y x