深圳市 宝安区 2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理科

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2014-2015学年第一学期宝安区期末调研测试卷

高二 理科数学 2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

x R，1、已知命题p：使tanx 1，则下列关于命题 p的描述中正确的是（ ）

A、 x R，使tanx 1 C、 x R，使tanx 1

B、 x R，使tanx 1 D、 x R，使tanx 1

2、在下列函数中,最小值是2的是（ ） A、y

x2

2x

B、y

2

x 2

1x 2

2

C、y sinx

1

sinx

D、y 5x 5 x

3、等差数列 an 中，S10 120，那么a5 a6的值是（ ） A、12

4、空间直角坐标系O xyz中，已知点B是点A(3,7,－4)在xOz平面上的射影，则OB等于（ ） A、(9,0,16) B、25 C、5 D、13

π3

5、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为

32

（ ）

3

A、1 B、2 C、 D3

2

2

B、24 C、36 D、48

6、抛物线x2 4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ） A、2

B、3 C、4

D、5

x y 5 0,

7、已知x、y满足条件 x y 0,则2x+4y的最小值为 （ ）

x 3.

A、-6

8、设定点F1(0 3)、F2(0 3) 动点P满足条件|PF1| a=A、椭圆 B、线段 C、不存在

B、6

C、-12

D、12

9

|PF2|(a 0)则点P的轨迹是（ ） a

D、椭圆或线段

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。 9、函数y

x2 3x 2的定义域为

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10、一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体 被抽到的概率都为

1

,则总体中的个体数为 . 9

x2y2x2y211、已知椭圆2 2 1(a b

0)的离心率为，则双曲线2 2 1的离心率为abab2

12、在空间直角坐标系O xyz中，已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上

运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．

1

13、设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝

2

*

f(n)(n∈N)，则数列{an}的前n项和Sn= ________．

14、对于问题：“已知关于x的不等式ax bx c 0的解集为 1,2 ，解关于x的不等式

2

ax2 bx c 0”，给出了如下一种解法：

解析：由ax bx c 0的解集为 1,2 ，得a x b x c 0的解集为 2,1 ，即关于x的

2

2

不等式ax bx c 0的解集为 2,1 .

2

参考上述解法，若关于x的不等式

kx b1 1

0的解集为 1, ,1 ，则关于x的不等式x ax c3 2

kxbx 1

0的解集为 ； ax 1cx 1

三、解答题.本大题共6小题，满分80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15、（本小题满分12分）

x2

(x 1).（1）求不等式f(x) 2x 1的解集；（2）求函数f(x)的最小值. 已知f(x)

x 1

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16、（本小题满分12分）

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，SA的中点． （1）求直线NB与MC所成的角；

（2）求平面SAD与平面SMC所成锐二面角的余弦值．

17、（本小题满分14分）

已知函数f x

2x 3

3x，数列 a 1 n 满足a1 1,an 1 f ,n N . an

（1）求数列 an 的通项公式； （2）令Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1，求满足Tn 60的最小正整数n的值.

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18、（本小题满分14分）

已知抛物线C的方程为y2 4x，点M 4，0 ，过点M且垂直于x轴的直线l交抛物线于A、B两点。设P是抛物线上异于A、B的任意一点，PQ y轴于点Q，直线PA、PB的斜率分别为k1,k2. （1）求

PM11

的最小值；（2）求证： 为定值，并求出该定值。 PQk1k2

19、（本小题满分14分）

已知数列 an 中，a1 2，a2 3，其前n项和Sn满足Sn 1 Sn 1 2Sn 1（n 2，n N）．

*

（1）求数列 an 的通项公式； （2）设bn 4n (1) 成立．

n 1

2 (

an

*

n N*），试确定 的值，使得对任意n N，都有bn 1 bn 为非零整数，

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20、（本小题满分14分）

在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A 2sin

2

B C

1. 2

（1）求角A的大小和BC边的长；

（2）若点P在△ABC内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d。设点P到边BC，CA的距离为分

别为x,y，试用x,y表示d，并求d的取值范围.

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宝安区2014-2015学年度高二上学期期末考试

理科数学答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分；

1—8：C、D、B、B、D、D、A、D； 二、填空题：每小题5分，满分30分；

9、 ,1 2, ； 10、180； 11

42

12、 343，83； 13、1 (1n2)； 14、( 3, 1)三、解答题.本大题共6小题，满分80分； 15、（本小题满分12分）

解：（1）由f(x) 2x 1得：

x2

x 1

2x 1， 整理得：x2

x 1 0，…………………………………………3分

x

……………………………………5分 又

x

1，所以不等式的解集为：………………6分 （2）设x 1 t，x 1, t 0,且x t 1.………………7分

f(x) (t 1)2t2 2t 11t t t t 2 2 4……11分

当且仅当t 1即x 2时取“=”号，故f(x)的最小值为4.……12分 16、（本小题满分12分）

解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，………………1分 M 1，12，0 ，N 1

20，1 ， ∴CM＝

1，－1

2，0 ， BN＝ 1

21，1

，………………………………………………3分 (1,2)；

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∴CM·BN＝1× －12 ＋ －12×(－1)＋0×1＝0，

∴CM⊥BN，即直线NB与MC所成的角为900.………………………6分 (2)易知平面SAD的一个法向量是

DC＝(0,1,0)，…………………………………………………………5分

设平面SMC的法向量为n＝(a，b，c)， 又SM＝ 1，1

2，－2 ，SC＝(0,1，－2)， 即 a＋12－2c＝0，

b－2c＝0，

令c＝1，则b＝2，a＝1，故取n＝(1,2,1)，……………………8分 于是cos〈DC，n〉＝

DC·n|DC||n|

26

＝3.

故平面SAD与平面SMC所成角的余弦值为6

3

.……………………12分 17、（本小题满分14分）

2解：（1）因为a 1 a 3

nn 1 f a 2 3an a2

n n

33an

所以 an 是以

221

3为公差的等差数列，又a1 1,所以an 3n 3

.…………6分 （2）Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5

a2na2n 1

=a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1

=

4

3

a2 a4 a2n …………………………………………10分

5= 4 3 3 4n3 1 3 n2= 49

2n2

3n ………………………………12分由T4

n 60得：

9

2n2 3n 60， 2n2 3n 135 0，且n 0，解得：n

15

2

， 故n的最小值为8.………………………………………………………………14分 18、（本小题满分14分）

解：（1）设P(x0,y0)，则y2

0 4x0

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PM2 x2

2

0 x20 4x0 16 42

PQ2 4 y0x2 x2=1 4 16

2

= 1 3

04

…………4分 0x0x0

x02 所以，当4 PM2 PM x 1时，即x30 8时， 4，故。……7分 PQ2

02min PQ min（2）联立 y2 4x，得 x 4

x 4，所以A 4,4 ,B 4, 4 y 4 …………9分

则

1k 1

4 x04 y 4 x0 8 4 x0 16 y2 8 4 x0 2为定值。…………14分 1k20 4 y0016 4x0

19、（本小题满分14分）

解：（1）由已知， Sn 1 Sn Sn Sn 1 1（n 2，n N*

），

即a*

n 1 an 1（n 2，n N），且a2 a1 1． ∴数列 an 是以a1 2为首项，公差为1的等差数列．

∴an n 1． 5分

（2）∵an n 1，∴bnn 4 ( 1)n 1 2n 1，要使bn 1 bn恒成立，

∴b bn 1n 1 n

2n 2

n 1n 4 4 1 n 1

2n 1 0恒成立，

∴3 4n

3 1

n 1

2n 1 0恒成立，

∴ 1

n 1

2n 1恒成立． 7分

（ⅰ）当n为奇数时，即 2

n 1

恒成立，

当且仅当n 1时，2n 1

有最小值为1，

∴ 1． 10分 （ⅱ）当n为偶数时，即 2

n 1

恒成立，

当且仅当n 2时， 2

n 1

有最大值 2，

∴ 2．

即 2 1，又 为非零整数，则 1． 13分

综上所述，存在 1，使得对任意n N*

，都有bn 1 bn． 14分

20、（本小题满分14分） （1）因为cos2A 2sin

2

B C

2

1，所以cos2A cos B C 0，

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即2cosA cosA 1 0，解得cosA 又A 0， ，所以A=

2

1

或cosA= 1，……………………2分 2

3

，……………………………………………………4分

由余弦定理得：BC分 （2）设点P到AB边的距离为z，则

S

ABC

S

PBC

S

PCA S

PAB

12

y 2z

又S

ABC

11BC CA 所以2

2

y 2z

1z

2

y.

………………………………8分

x

0 1

故d

x y z

2x y ，又x、y满足 y 0， ………………10分

2 1

y 0 2

.………………………………………14分 由线性规划知识得d的取值范围是