大学物理学 赵肇熊 吴实 答案

总习题答案February17,2014

第一章质点力学

运动学

1.1一个物体沿着直线运动，其加速度a=4+3t(SI)，若x0=5,v0=0，计算该物体在t=10s时的速度和坐标．

解答：任意时刻的速度

v(t)=v0+

t

adt=

t

t

2

(4+3t)dt=(4t+1.5t2) =4t+1.5t

将t=10代 得v(10)=190m/s任意时刻的坐标

x(t)=x0+

t

v(t)dt=5+2t2+0.5t3

将t=10代 得x(10)=705m

1.2质点从坐标原点开始沿着x轴运动，其速度为v(t)=4t πsinπt(SI)，计算该物体在t=10s时的加速度和坐标．解答：加速度任意时刻的坐标

x(t)=x0+

dv 2 a(10)==4 πcosπt=4 π2 dtt=10t=10

t

v(t)dt=

t

(4t πsinπt)dt

t

22

=(2t+cosπt) =2t+cosπt 1

将t=10代 得x(10)=200m

1.3如下图所示，一个物体沿着x轴运动，其速度v(t)函数曲线分为三段．问：三个阶段的加速度各是多少？

三个阶段的位移各为多少？

总习题1-3图

解答：加速度其 何意义就是图线v(t)切线的斜率； a=dv/dt，位移Δx=

v(t)dt是速度曲线下 的 积．

OA阶段的加速度a=Δv/Δt=4/2=2m/s2；位移Δx=OA下 的 积=4m

AB阶段的加速度a=Δv/Δt=(6 4)/(4 2)=1m/s2位移Δx=AB下 的 积=10m

BC阶段的加速度a=Δv/Δt=(2 6)/(6 4)= 2m/s2位移Δx=BC下 的 积=8m

1.4半径为R的轮子沿着x轴滚动，其角速度是ω，轮子边缘某一个点P的轨迹称为“旋轮线”，其轨迹方程为

{

x=Rωt Rsinωty=R Rcosωt

计算任意时刻的速率v、加速度|a|解答：速度

vx=vy=

速率

√√

v=vx+vy=Rω(1 cosωt)2+sin2ωt

√ωt=Rω2 2cosωt=2Rωsin

2

加速度

ax=ay=

dvx

=Rω2sinωtdt

dx

=Rω Rωcosωtdt

dy

=Rωsinωtdt

dvy

=Rω2cosωtdt√

22

|a|=a2x+ay=Rω

1.5如下图所示，在河堤上安装一个高于水面h的定滑轮，用绳子通过滑轮将水面上的船拉向岸边，收绳的速率v0

（提示：船速是距离s缩短的快慢 ds/dt，收绳的速率v0

解答：令绳 的长度为l．l=s+h其中l,s都随着时间t变化， h是常量．等式两边对时间t求导数得

d(s2)d(h2)d(l2)

=+dtdtdtd(l2)dld(s2)ds

=+0

dldtdsdt2l

化简得

dlds

=2sdtdt

ldlds

= =vs= dtsdt

√

s+hv0

s

1.6如下图所示，路灯距离地面H，人的身高h，若人以均匀的速率v0远离路灯，那么人头顶在水平地面的阴影D以多大的速率V远离路灯杆？（提示：利用相似三角形）

总习题1-6图

V=ddt．

由三 形相似△SAB～△SCD，可得到

=

H hH

注意到H,h都是常量，上式两边对时间求导可得

v0V

=,

H hH

V=

H

v0

H h

解答：从图中可以看出 的速度就是的变化率v0=d/dt，影 D的速率就是的变化率

1.7长度为l的梯子搭在直角墙边，在某时刻，梯子与墙壁的角度为θ，且梯子的下端向外移动的瞬时速率是v1，

解答：设梯 的 平跨度为x，将等式x2+y2=l2两边对时间t求导数

dy

dt

即

dydx

+2y=0dtdt

x 2xvx+2yvy=0, v2= y v1=tanθv1

2x

令解：设梯 的 平跨度为x，垂直 度为y，则

√

y=l x=(l2 x2)1/2

对时间t求导数

dy 1 2xdx

=tanθv1v2=|vy|= dt = 2dt l1.8一个质点从静止出发，沿着半径r=3m的圆周运动，其切向加速度at=3m/s2，当总加速度与半径成45 角时，计算所用的时间以及此期间所经过的路程．解答：根据at=dv/dt可得dv=atdt，

v(t)=v0+

t

atdt=0+

t

3dt=3t

度为45 时，切向加速度与法向加速度 相等．将an=at展开可得

v2

=3,r

(3t)2 =3,

3

1

t=1s

根据v=ds/dt可知ds=vdt，质点的位移

1 Δs=v(t)dt=

3tdt=1.5m

1.9以国际单位制度量，某质点以初始角速度ω0=10做圆周运动，其角加速度β= 10e t．（1）何时切向加速度与法向加速度大小相等？（2）质点转过的最大角位移是多少？

解答：根据β=dω/dt，任意时刻的 速度

t t

ω(t)=ω0+βdt=10 10e tdt=10e t

设圆周的半径为r．当切向加速度与法向加速度 时，

|ω2r|=|βr|,

根据ω=dθ/dt，质点的 位移

Δθ=

10e t=1,

t

t=ln10≈2.30

ω(t)dt=10(1 e t)

从上式可以看出，随着时间的增加， 位移逐步增 ．当t→∞，达到最 位移Δθ=10．

1.10某质点的运动规律为x=Acosωt,y=Bsinωt，其中A,B,ω都是常量．证明r×v是常矢量．解答：

r=ix+jy=iAcosωt+jBsinωtv=

dxdy

i+j= iωAsinωt+jωBcosωtdtdt

r×v=Acosωt·ωBcosωti×j Bsinωt·ωAsinωtj×i

=ωAB(cos2ωt+sin2ωt)i×j=ωABk

1.11质点沿直线运动，加速度a=4 t2，式中a的单位为m/s2，t的单位为s．如果当t=3s时，x=9m，v=2m/s，求质点的运动方程．

解答：在这 ，t0=3，x0=9，v0=2，

t t

1

(4 t2)dt=4t t3 1m/sv(t)=v0+a(t)dt=2+

33t0

t

31

x(t)=x0+v(t)dt= t+2t2 t4

412t0

牛顿定律

1.12粗糙的水平路面上放置质量m的重物，摩擦系数μ．用大小恒定的力F拽拉，拉力与水平方向的夹角θ可以变化，问θ多大时重物获得的加速度最大？解答：设地 向上的 持 为N．在垂直 向受 平衡

Fsinθ+N=mg

在 平 向， 顿第 定律为上述 式消去 持 N得

Fcosθ μN=mama=Fcosθ μmg+μFsinθ

要使得加速度a最 ，就是要求上式等号右侧取得极 値．根据微积分中的极値条件，

d

(Fcosθ μmg+μFsinθ)=0dθ

求解得

θ=arctanμ

1.13质量为m的子弹以v0的初速度水平射入沙土墙壁中，进入墙壁后，它受到与速度成正比的水平摩擦阻力f= kv．计算子弹的速度随时间变化的函数关系．

解答：由f=ma得积分得

kv=m v lnv

dvdvk

= dtdtvm

kk t

= t v=v0e t

m0

v0

1.14质量为m的快艇在速度达到v0时关闭发动机，受到阻力而减速，阻力大小与速度的平方成正比，即f= kv2．证明它在水面上再行驶距离x时的速度为v=v0e kx/m．解答：利 隐函数的求导法则

a=

kdvkdvdxdvkf

= v2 = v2 =v= v2mmdtmdxdtdxm

v x

dvkdvkdvk = v = dx = dx

dxmvmv0v0m

k

ln(v/v0)= x v=v0e kx/m

m

1.15以初速度v0竖直上抛一个物体，除重力外，还受到空气阻力f= kv，计算上升的最大高度H．解答：以垂直向上为正 向，由f=ma得

kv mg=m

左右两边都乘以 度的微分dh得

(kv+mg)dh=m

分离变量得积分

dv

dt

dvdh

dh=mdv=mvdvdtdt

mv

dv= dh

kv+mg/k

mk

(v+mg/k) mg/k

dv=

v+mg/k

0H

dh

v0

注意上式中积分上下限的对应．计算得

v0+mg/kmv0m2g

lnH=kkmg/k

相对运动

1.16如图所示，重力场中的升降梯携带一个定滑轮以a0加速上升．定滑轮的质量以及摩擦忽略不计．计算绳子中的张力T

．

总习题1-16图

解答：以定滑轮为参照系，则该 惯性系中需要添加竖直向下的惯性 ma0．

设重物系统相对于定滑轮的加速度 为a．对于m1列 程，

T (m1g+m1a0)=m1a

对于m2列 程

综合上述两个等式，可以得到

a=

m2 m1

(g+a0)

m1+m2

m2g+m2a0 T=m2a

T=

2m1m2

(g+a0)

m1+m2

1.17如图所示，重力场中的升降梯携带一个桌子以a0加速上升．质量为m1的物体与桌面之间的摩擦系数为μ，

T．

解答：以桌 为参照系，则该 惯性系中需要添加竖直向下的惯性 ma0．

设重物系统相对于桌 的加速度为a．对于m1列 程，

平 向垂直 向

对于m2列 程

综合上述三个等式，可以得到

a=T=

m2 μm1

(g+a0)

m1+m2

m1m2(1+μ)

(g+a0)

m1+m2

垂直 向

T μN=m1am1g+m1a0=Nm2g+m2a0 T=m2a

动量

1.18质量m=0.5kg的物体沿直线运动，其位移x=4ln(1+2t)SI．计算0<t<2时间内物体受到的冲量．

解答：物体的速度带 时间得

v0=8,

根据定量定理，

v2=1.6

v(t)=

dx8

=dt1+2t

I=Δp=mv2 mv0= 3.2N·s

1.19物体在空气中上抛，它除了受到重力之外，还会受到与速度方向相反的阻力f=kv．根据冲量的定义证明在物体上升过程中和下落过程中，空气阻力对物体的冲量大小相同．解答：只考虑冲量的 ．在很短的 段时间dt内，阻 的冲量为

dI=fdt=kvdt=kdl

其中dl=vdt是物体在这段时间内的路程．可见阻 的冲量的 与物体 过的路程成正 ．假设物体上升的最 度为H，则上升阶段和下落阶段的阻 冲量均为

H HI=kdl=kdl=kH

证毕．

总习题答案第一章质点力学

1.20超高压水切割又称水刀和水射流，它是将普通的水经过多级增压后所产生的高压水流，再通过一个极细的红宝石喷嘴以近千米每秒的速度喷射切割．假设喷嘴喷出的水流速率水从高压泵中以800m/s喷出，垂直冲击到某固体表面后速度降为零．固体表面受到水的压强有多大？已知水的密度ρ=103kg/m3．解答：设 流截 积为A，在dt时间内， 射到固体表 的 流长度为vdt，其质量dm=ρAvdt，动量为vdm=ρAv2dt． 流 射到表 后，动量变为零．在此过程中固体表 对于 流的冲量为Fdt．根据动量定理压强

ρAv2dt=Fdt

P=F/A=ρv2=6.4×108Pa

1.21水平面上的一条输油管有一个直角拐弯．已知管中的原油平均速度为v=2.0m/s，管道横截面积A=100cm2，计算拐弯处受力的大小．已知原油密度ρ=0.80t/m

3

总习题1-21图

解答：解法一：在dt时间内体积为Avdt的原油从管道的 侧流 并从另 侧流出，其质量dm=ρAvdt．

√

由于流 流出的原油动量 相等 向垂直，故在此过程中动量变化量的 为2vdm．根据动量定理

√

2vdm=Fdt,

F=

√

√

2ρAv2=322≈45N

解法二：在管道上建 直 坐标系，原油从y轴正向流 ，从x正 向流出．设管中的原油的总长度为L，某时刻x 向流动的原油长度为x，y 向流动的原油长度为L x．则原油的总动量为

p=ρAxvi+ρA(L x)v( j)= ρALj+ρAxv(i+j)

在上式中，只有x是变化的，且dx/dt=v，根据 顿第 定律

F=

这就是管道对原油的作 ，

dpdx

=ρAv(i+j)=ρAv2(i+j)dtdt

√2

F=ρAv|i+j|=2ρAv2

1.22质量为M的炮弹以速率v0仰角θ射出．当炮弹升至最高点时，水平向后射出质量为m的碎片，二者的相对速率为u(u>0)．因为碎片的射出，炮弹射程增加多少？忽略空气阻力．

解答：在爆炸的瞬间， 平动量守恒．炮弹爆炸前， 平速度为v0cosθ，设爆炸后炮弹的相对于地 的速度为v，则碎 相对于地 向前运动的速度为v u，

Mv0cosθ=m(v u)+(M m)v

爆炸前后炮弹 平速度的增量为

Δv=(v v0cosθ)=mu/M

炮弹 平速度的变化并不影响垂直 向的运动．炮弹上升到最 点花费的时间和从最 点下降的时间相同，均为 平射程增加

T=v0sinθ/gΔv·T=

muv0sinθ

Mg

此过程中小船的位移多大？1.23一条质量m1=100kg长度l=3

m2=50kg的人从船头走到船尾．在

解答：解法 ： 平动量守恒．t t

m1v1=m2v2,m1v1dt=m2v2dt

速率的积分就是路程，所以

m1l1=m2l2

其中 相对于地 前 的路程l1与船相对于地 后退的路程l2之和就是船长l

l1+l2=l

联 上述两式得

m2l

=1m

m1+m2

解法 ：以 前进的 向为正 向． 平动量守恒，可得到

l1=

m1v1+m2v2=0,

m1v1+m2(v2 v1)+m2v1=0

其中(v2 v1)是 相对于船的速度，它的积分就是船长l

m1l1+m2l+m2l1=0

m2l

= 1m

m1+m2

这 的负号表 船的位移与 的位移 向相反．

l1=

功与能量

1.24一维空间的保守力场F=1 2x，规定Ep(x=0.5)=0，求此力场的势能函数．

0.5 0.5解答：

(1 2x)dx=x2 x+0.25Fdx=Ep(x)=

x

x

1.25如图所示，通过高度为h

m的物体从60 处拉到垂直位置．忽略滑轮以及绳子的质量，解答：初始位置的坐标为x0=htan60=3h，拉 做功

0 W=Fxdx= F

x0

x

√

0x0

h+xdx=Fh

根据动能定理，

W=ΔEk=

1

mv2, v=2

√2Fhm

1.26质量m=2kg的物体沿着x轴运动，初速度v0=1m/s．该物体受到沿着x轴正向的作用力F(x)，从x=0运动至x=6m．问在该过程中F

的冲量多大？

总习题1-26图

解答： F做的功根据动能定理根据动量定理，

W=

6

F(x)dx=图线下 的 积=24J1122

mv6 mv022

v6=5m/s

W=

I=mv6 mv0=8N·s

1.27质量m=2kg的物体沿着x轴运动，初速度v0=2m/s．该物体受到沿着x轴正向的作用力F(t)如下图所示．问在0<t<6s这段时间内，F

做功多大？

总习题1-27图

解答： F的冲量

I=

6

F(t)dt=图线下 的 积=22N·s

根据动量定理I=mv mv0得末态速度

v=(I+mv0)/m=(22+4)/2=13m/s

根据动能定理， 所做的功等于动能增量112

W=mv2 mv0=132 22=165J

22

1.28用铁锤将钉子敲入墙壁．设钉子受到的阻力与其钉入的深度成正比．若第一次敲击能钉入1.00cm，则第二次敲击能将钉子再钉入多深？设两次敲击时铁锤的速度相同．

解答：在两次敲击过程中，钉 获得的动能是相同的（为什么），墙壁与钉 间的摩擦 f= kx做功也相同．令第 次敲击后，钉 深度为h

W=

解得h=

√

2，第 次将钉 敲 了

√

1

kxdx=

1

h

kxdx

2 1=0.41cm

1.29一颗速率为v0=700m/s的子弹，打穿第一块木板后，速率降低为v1=500m/s．如果它继续打穿同样的一块木板，速率将下降为多大？

解答：穿透 板需要做功是相同的．第 次做功

122

)= 12m×104 v0W=ΔEk=m(v1

2

(1)

设第 次穿透 板后，速度是v，联 等式(1)等式(2)解得v=100m/s

W=

12

m(v2 v1)2

(2)

1.30如下图所示，

右端拴着质量m的方块．方块与地面的摩擦系数μ后开始向右运动．在外力F、摩擦力以及弹性力的作用下，解答：弹簧的 是保守 ；（1）加速度为零时，速率达到极値，此时物体受到的合 为零

F μmg

F=kx+μmg,x=

k

将上式代 式( )，可以转化为

11

mv2=(F μmg)x kx222

11

=(kx)x kx2=x2

22()21F μmg=k2k最 速率

（2）速率v=0时，达到最 位移最 位移

v=

F μmg

( )

12kx2

2(F μmg)

x1=（略去）0,x2=

k

Fx μmgx=

综合

1.31如下图所示，

m的物体从槽的顶端滑下，物体与槽之间存在摩擦．N，计算下滑过程中摩擦力所做的功．

得滑块的动能Ek=mv2=(NR mgR)

22

在下落过程中，摩擦 做功等于机械能增量

13

Wf=(Ek mgR) 0=NR mgR

22

解答：在滑槽底部，由 顿定理得

速度多大？

忽略一切摩擦．

1.32如下图所示，从半径为R的半球形屋顶上滑落一块冰．当下落到什么位置时冰块脱离屋顶？此时的

总习题1-32图

解答：设滑落 θ 度时速度是v，根据机械能守恒

1

mgR=mgRcosθ+mv2

2

在法线 向

v2

mgcosθ N=m

R

冰块脱离屋顶的条件是 持 N=0．联 上述两式得

√2Rg2

,cosθ=v=

33

1.33两块平板A、B的质量分别是mA,mB，B板水平放在地面上，A板水平放置在B板的上方．两板之间垂直放置一个劲度系数k的弹簧，其两端分别固定在两块平板的重心位置．在A板上方施加竖直向下的恒定压力F，使得弹簧压缩，A板下降．迅速撤去压力后，A板弹起．问压力F多大才能保证A板弹到最高处时，B

板刚好被提起？

总习题1-33图

解答：以弹簧不变形的位置作为弹性势能与重 势能的零点．

若弹簧向上拉伸使得B板刚好被提起，则弹簧的伸长量为h=mBg/k，此时系统的机械能为

2

m2mAmBg212Bg+E=kh+mAgh=

22kk

设在开始时刻，弹簧由于压 F以及重 mAg的作 压缩x(x>0)时，则系统的机械能

E=

利 机械能守恒定律，结合上述两式，可以得到

x=

弹簧被压缩时， 的平衡 程给出

F+mAg=kx,

x=kx mAg=(mA+mB)g

2mAgmBgmAg(mA+mB)g

±=+kkkk

(捨去負根)

12

kx mAgx2

1.34如下图所示，半径R的四分之一光滑圆槽放在光滑的地面上，小滑块从圆槽顶端下滑，当落至底部时，相对于地面的速度多大？

M=m．

总习题1-34图

解答：滑块运动 底部时，滑块与圆槽之间的作 为竖直 向，因此 者 平 向均没有加速度．以圆

槽为参照物，滑块相对于圆槽做圆周运动．在底部，滑块相对圆槽的速度为v+V，

(v+V)2

N mg=m

R

在下落过程中，没有耗散 做功，机械能守恒

mgR=

滑块与圆槽在 平 向不受外 ， 平动量守恒

mv=MV

√

联 上述三式以及m=M，可得到v=V=gR,N=5mg

11

mv2+MV222

1.35如下图所示，动量是mv0

M的静止弹簧靶上，弹簧的劲度系数为k．忽略一切摩擦阻力，图

解答：当钢柱慢慢减速、靶慢慢加速，使得 者的速度相等时，弹簧被压缩的长度最 ． 平 向没有阻 ， 平动量守恒．设共同的速度是v，最 压缩长度是s，

mv0=(m+M)v

钢柱与软弹簧的碰撞可以看做完全弹性的

1112

mv0=(m+M)v2+ks2222

联 上述两式可得到s=v0大高度是多少？

mMk(m+M)

1.36长度为l的细线拴着一个质量为M的沙袋．动量为mv0的子弹水平射入沙袋，问沙袋向上摆动的最解答： 弹打 沙袋的过程中，有内摩擦 做功，机械能不守恒．但是 平动量守恒

mv0=(m+M)v

√

沙袋与 弹上摆过程中，只有重 做功，机械能守恒

1

(m+M)v2=(m+M)gh2

()21mv0

解得h=

2gm+M

1.37质量M的软木块停在摩擦系数为μ的水平面上，质量m的子弹水平射入木块后，木块能够滑行s距离．问子弹的水平初速度v0多大？

解答： 弹打 块的过程时间很短，摩擦 的冲量忽略，因此 平动量守恒

mv0=(m+M)v1

者结合后，摩擦 做功，最终停 ．摩擦 做的功等于机械能的增加量12

μ(m+M)gs=0 (m+M)v1

2

m+M√

从上述两式中消去v1，即可得到v0=m

总习题答案February17,2014

第二章连续介质力学

转动惯量

2.1半径为R质量为m的均匀细圆环绕它的一条直径转动，

根据定义计算它的转动惯量．

总习题2-1图

解答：以环 为坐标原点建 极坐标， 平坐标轴为转轴．每个质元到转轴的距离为l=Rsinθ，对应的圆 为dθ．整个圆周的 度为2π，总质量为m，则该质元的质量为dm=(m/2π)dθ

2π

m

J=l2dm=R2sin2θdθ

2πL0

mR22π2mR22π1 cos2θ=sinθdθ=dθ

2π02π02

=1

mR22

2.2半径为R质量为m的均匀细圆环绕它的一条切线转动，

根据定义计算它的转动惯量．

总习题2-2图

解答：以环 为坐标原点建 极坐标，每个质元到转轴的距离为l=R+Rcosθ，对应的圆 为dθ．整个圆周的 度为2π，总质量为m，则该质元的质量为dm=(m/2π)dθ

2π

m

R2(1+cos2θ)dθJ=l2dm=

2π0L

mR22π3+cos2θ3=dθ=mR2

2π022

2.3已知均匀薄圆盘质量为m，半径为R，根据平行轴定理和正交轴定理，证明若圆盘绕它自己边缘的一条切线旋转，则转动惯量为5mR2/4

．

总习题2-3图

1

解答：以圆盘中 为原点建 直 坐标系，使得z轴垂直于圆盘，则Jz=mR2．根据垂直轴定理有，

2

1

则根据平 轴定理，Jx+Jy=Jz． 根据对称性可知Jx=Jy，故有Jy=mR2．作切线平 于y轴，

4

5

J=Jy+mR2=mR2

4

22

对于中垂轴的转动惯量为m(R1+R2)/2．

2.4在半径为R2的均匀薄圆盘中心再挖去半径为R1的圆盘，剩余的圆环总质量为m．证明剩余部分相解答：圆盘的 密度为

将该圆盘切割为细圆环，其转动惯量

dJ=r2dm=r2·(σ2πrdr)=

总转动惯量

2m

J=R21

R2

σ=

m

)π(R21

2m

r3drR21

r3dr=

R1

m22

(R2+R1)2

2

另解：设圆盘的 密度为σ，半径为R2的 圆盘质量为m2=σπR2，挖去的 圆盘质量为m1=222σπR1，剩余部分的质量m=σπ(R2 R1)．

圆盘的转动惯量 圆盘的转动惯量剩余部分的转动惯量

J=J2 J1=

J2=J1=

1124

m2R2=σπR2221124m1R1=σπR122

]211[14224222

σπ(R2σπ(R2 R1 R1+R1)=)(R2)+R1)=·m·(R2222

2.5用薄铁皮焊接一个密封的圆桶，其直径以及高度均为D，总质量是m．该圆桶相对于中心轴线的转动惯量多大？

解答：设单位 积铁 的质量为k，则圆桶端盖的质量为

(D)2k

m1=kπ=πD2

24圆桶侧壁的质量为圆桶的总质量

m2=k(πD)D=kπD2

m=2m1+m2=

3

kπD2,2

kπ=

2m3D两个端盖可视为均匀圆盘，其总转动惯量为

1(D)2kπ4

=D2×m1

2216(D)2kπm2=D4

24

J=

kπ4kπ45kπ45

D+D=D=mD21641624

侧壁的转动惯量为圆桶总转动惯量为

转动定律

2.6如下图所示，重物的质量m1>

J；软绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮的轮轴处无摩擦，物体Ⅱa的大小．

解答：设滑轮两侧绳 的张 分别为F1,F2．

重物1加速下落：m1g F1=m1a重物2向右加速：F2 μm2g=m2a定滑轮加速转动：F1r F2r=Jβ=Ja/r

式(1)×r+(2)×r+(3)得

m1gr μm2gr=r(m1+m2+J/r2)a= a=

(1)(2)(3)

m1g μm2gm1+m2+J/r2

另解：假设重物下落距离l时，速率为v，则此刻滑轮的 速度ω．根据动能定理，重 与摩擦 做功等于系统动能增量，

m1gl μm2gl=

将ω=v/r代 上式化简，可得到

(m1g μm2g)l=

)1(

m1+m2+J/r2v22

11(m1+m2)v2+Jω222

在该式中，l与v是随着时间变化的．两边对时间求导，可得到

(m1g μm2g)

其中

dldv

=v=a，dtdt

)dvdl1(

=m1+m2+J/r22vdt2dtm1g μm2gm1+m2+J/r2

a=

2.7如下图所示，

J，半径分别为r1,r2，且r1>r2；重物的质量m1>m2；计算滑轮的角加速度β的大小．

总习题2-7图

解答：设悬挂两个重物的绳 的张 分别为F1,F2．定滑轮转动 周，重物1下降的距离 于重物2上升的距离．因此两个重物运动的加速度是不同的； 定滑轮的 加速度是共同的．

重物1加速下落m1g F1=m1a1=m1r1β重物2加速上升F2 m2g=m2a2=m2r2β

定滑轮加速转动F1r1 F2r2=Jβ

式(1)×r1+(2)×r2+(3)得

22

+J)β= β=+m2r2m1gr1 m2gr2=(m1r1

(1)(2)(3)

m1gr1 m2gr2

+mr+Jm1r122

2.8如下图所示，两个定滑轮的半径分别为R1,R2，转动惯量分别为J1,J2；绳子的质量忽略不计，两端分别悬挂的重物质量为m1,m2；软绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮的轮轴处无摩擦，计算重物的加速度a的大小．

总习题2-8图

解答：设悬挂两个重物的绳 的张 分别为F1,F2，两定滑轮之间的 平绳 张 为F0．两个滑轮的线速度、线加速度相同，但是 速度、 加速度不等．

重物1加速下落m1g F1=m1a重物2加速上升F2 m2g=m2a

滑轮1顺时针转动F1R1 F0R1=J1β1=J1a/R1滑轮2顺时针转动F0R2 F2R2=J2β2=J2a/R2

式(1)+(2)+(3)÷R1+(4)÷R2得

22

m1g m2g=(m1+m2+J1/R1+J2/R2)a

(1)(2)(3)(4)

m1g m2g

+J/Rm1+m2+J1/R122

另解：利 动能定理求解．重物1下落的距离与重物2上升的距离相同，设为h．重 做功等于系统动

a=

能的增量．

m1gh m2gh=

11112

m1v2+m2v2+J1ω21+J2ω22222

其中ω1=v/R1,ω2=v/R2，代 上式得

)21(22

m1+m2+J1/R1+J2/R2v2

)dvdh1(22

(m1 m2)g=m1+m2+J1/R1+J2/R22v

dt2dt(m1 m2)gh=

两边对时间求导其中

dhdv

=v，=a，代 即可得dtdt

a=

(m1 m2)g

+J/Rm1+m2+J1/R122

2.9某通风扇在角速度为Ω时撤去动力，叶片受到空气阻力矩而减速．假设阻力矩的大小与转速成正比，比例系数为k；叶片的转动惯量为J；问多长时间后转速降为初始值的一半？此时叶片转过了多少转？解答：根据转动定律M=Jβ=Jdω/dt，

kω=J

kdω

=

JΩω

令ω=Ω/2，可得到t′=Jln2/k．

在此期间，叶 转过的 度为

Δθ=

0t′

ω

dω

dt

t

dt ω(t)=Ωe kt/J

t′

J kt/J =ΩJω(t)dt= Ωe k2k0

ΩJΔθ=2π4πk

转过的转数为

另解：第 问可以有另外 种解法．

kω=J

dωdωdθdω=J=Jωdtdθdtdθ