1.1正弦、余弦定理

新人教A版高中数学必修五教学优质配套课件 1.1正弦、余弦定理

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1.1 正弦定理

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一、正弦定理 1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即①________=2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径). 2.正弦定理的三种变形 (1)a=2RsinA,②________,c=2RsinC; b c (2)③________,sinB= ,sinC= ; 2R 2R (3)abc=sinA sin B④________.

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友情提示：应用正弦定理要注意以下两点： (1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关 系，是解三角形的重要工具； (2)正弦定理的证明除了用三角函数的定义法、 向量法外，还可以用三角形面积公式证明，即用 S 1 1 1 =2absinC=2bcsinA=2acsinB 给出证明.

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二、解三角形 1.解三角形时常用的结论 (1)在△ABC中，A>B ⑤________ ⑥ ________;(即在一个三角形中大边对大角) (2)a+b>c,b+c>a,⑦________;(即在一 个三角形中两边之和大于第三边，两边之 差小于第三边) (3)内角和定理：△ABC中，A+B+C=⑧ ________.

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2.正弦定理的应用 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问 题： (1)已知两角和任意一边，求其他⑨________和⑩ ________; (2)已知两边和其中一边的对角，求 ________, 从而进一步求出其他的边和角. 对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角 形内角和为180°求得 ________,再利用正弦定 理求其余两边； 对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形 状不能唯一确定，因而会出现 ________三种情 况.

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友情提示：在△ABC中，如果已知边a,b和 角A,解的情况讨论如下： 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角 形，有两解、一解和无解三种情况. ①A为锐角，如下图：

a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b ________解 ________解 ________解 ________解

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②A为直角或钝角，如下图.

________解 ________解 ________ 解 ________解

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归纳列表如下：

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答案： a b c ① = = sinA sinB sinC ④sinC ⑩一角 解 ⑤a>b ⑥sinA>sinB ②b = 2RsinB ⑦a+c>b a ③sinA = 2R

⑧180° ⑨两边 两解、 一解和无

另一边的对角 一 两 24两解 ○

第三个角 一 无

无

一

无

21 一 ○

22一解 ○

23无解 ○

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1.正弦定理的推导方 法 对正弦定理的推导， 我们可以从几何的角 度进行推导.如图， 以△ABC的顶点A为 原点，边AC所在的射 线为x轴的正半轴， 建立直角坐标系.

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由三角函数的定义知，顶点 B 的坐标是(ccosA,csinA), 容易知道 AC 边上的高 BE 就是 B 点的纵坐标 csinA,于是 1 1 △ABC 的面积 S=2AC· BE=2bcsinA.

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1 1 同理可得 S=2acsinB,S=2absinC. 1 1 1 ∴2bcsinA=2acsinB=2absinC. 1 将等式两边的式子都除以2abc, sinA sinB sinC 可得 = = , a b c a

b c 即 = = . sinA sinB sinC

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另外，我们也可以从△ABC的外接圆来进 行推导，如图.

当△ABC为直角三角形时，如图①所示， 其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB 上，R为外接圆的半径.

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在 Rt△ABC 中，a=ABsinA=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC. a b c 所以sinA=sinB=sinC=2R. 当△ABC 为锐角三角形时，如图②所示，其外接圆 的圆心 O 位于△ABC 的内部， 连结 BO 并延长交圆 O 于 D,连结 CD,则∠D=∠A,BD=2R.