【步步高】2014届高考数学大一轮复习 10.3二项式定理配套课件 理 新人教A版

数学

R A(理)

§10.3 二项式定理第十章 计数原理

基础知识·自主学习要点梳理1.二项式定理n 0 n 1 n 1 1 ( a + b ) = C a + C b + + n na _______________________________-

难点正本 疑点清源

1.二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有 nn-k k +1 项，Ck a b 是第 k+ n

n-k k n n * Ck a b + + C b ( n ∈ N ) __________________________ . n n

这个公式所表示的定理叫做二项式定 理， 右边的多项式叫做(a+b) 的二项展 开式，其中的系数 Ck n(k=0,1,2, ,n) k n-k k C 二项式系数 叫做 .式中的 na b 叫做二项展开式的 通项 ，用 Tk+1 表 示，即展开式的第 k+1 项；k n-k k C Tk+1= na b .

1 项.即 k+1 是项数，n k k Ck b 是项. na-

n

n k k (2)通项是 Tk+1=Ck b na-

(k = 0,1,2 , , n) .其中 含有 Tk+1,a,b,n,k 五 个元素，只要知道其中四 个即可求第五个元素.

基础知识·自主学习要点梳理2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1 . (2) 各项的次数都等于二项式的幂指 数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 排列，从第一项开 始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按 升幂 排列，从第一项起，次数 由零逐项增 1 直到 n. 0 1 C (4)二项式的系数从 n ,Cn ,一直到 n n-1 C Cn , n .难点正本 疑点清源

2.二项式系数与展开式 项的系数的异同n -k k 在 Tk+1=Ck b 中， Ck na n

就是该项的二项式系 数， 它与 a, b 的值无关； 而 Tk+1 项的系数是指化 简后字母外的数.

基础知识·自主学习要点梳理3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”n m 的两个二项式系数相等，即 Cm = C n n .-

难点正本 疑点清源

3.二项式定理的应用(1)通项的应用： 利用二项 展开式的通项可求指定的 项或指定项的系数等. (2)展开式的应用：利用 展开式①可证明与二项 式系数有关的等式； ②可证明不等式；③可 证明整除问题；④可做 近似计算等.

(2)增减性与最大值：二项式系数 Ck n, n+1 当 k< 2 时，二项式系数是递增的；

n+1 当 k> 2 时，二项式系数是递减的.当 n 是偶数时，中间的一项 C 最大值.n 2 n

取得

基础知识·自主学习要点梳理难点正本 疑点清源n 1 2

Cn 和 当 n 是奇数时，中间两项________

3.二项式定理的应用(1)通项的应用： 利用二项 展开式的通项可求指定的 项或指定项的系数等. (2)展开式的应用：利用 展开式①可证明与二项 式系数有关的等式； ②可证明不等式；③可 证明整除问题；④可做 近似计算等.

Cn 相等，且同时取得最大值. ________(3)各二项式系数的和 (a+ b)n 的展开式的各个二项式系数的和 等于 2n, 0 1 2 k n n C + C

+ C + + C + + C n n n n n =2 . 即_____________________________ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和1 3 C + C n n 等于奇数项的二项式系数的和， 即_______ 5 0 2 4 n-1 + C + = C + C + C + 2 n n n ___ n = .

n 1 2

基础知识·自主学习基础自测

题号1 2 3 4 5

答案84

解析

1D

C B

题型分类·深度剖析题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数思维启迪 解析 探究提高

3 1 x- n 【例 1】 已知在 3 的展 2 x 开式中，第 6 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.

题型分类·深度剖析题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数思维启迪 解析 探究提高

3 1 x- n 【例 1】 已知在 3 的展 2 x 开式中，第 6 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.

先根据第 6 项为常数项利用通项 公式求出 n,然后再求指定项.

题型分类·深度剖析题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数探究提高 思维启迪 解析 3 1 x- n 【例 1】 已知在 3 的展 1 n 2 k n k 1 k k k k k 2 x 3 Tk+1=C 3 =C - x 3 . - 解 (1)通项公式为 x n n x 2 2 开式中，第 6 项为常数项. 因为第 (1)求6n项为常数项， ;

(2)求含 x2 的项的系数； n-2×5 所以 =5 时， =0,即 n=10. (3)k 求展开式中所有的有理项. 310-2k (2)令 =2,得 k=2, 3 故含 x 的项的系数是2

1 2 45 2 C10 - = .

2

4

题型分类·深度剖析题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数解析 探究提高 思维启迪 3 1 x- n 【例 1】 已知在 的展 3 10 - 2k 2 x ∈Z 3 (3)开式中，第 根据通项公式，由题意 ， 6 项为常数项. 0 ≤ k ≤ 10 (1)求 n; k∈N 10-2k 2 3 (2) 求含 x 的项的系数； 令 =r (r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r, 3 2 (3) 求展开式中所有的有理项. ∵k ∈ N,∴r 应为偶数.

∴r 可取 2,0,-2,即 k 可取 2,5,8,∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 12 2 15 1 8 -2 2 5 8 x . - - - C10 x ,C10 ,C10

2

2

2

题型分类·深度剖析题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数思维启迪 解析 探究提高

3 1 x- n 【例 1】 已知在 3 的展 2 x 开式中，第 6 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.

求二项展开式中的特定项，一般 是利用通项公式进行，化简通项 公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，

指数为零；求有理 项时，指数为整数等),解出项数 k+1,代回通项公式即可.

题型分类·深度剖析变式训练 1 (1)(2012· 重庆)

35 A. 16

35 B. 8

2 35 C. 4

x+

1

8 的展开式中常数项为( x

B )

D.105

2 6 (2)(2012· 上海)在 x-x 的二项展开式中，常数项等于________.

解析

(1)Tr+1=Cr 8(

x)

8-r

2

1

r r 1 r 4-r r 1 r 4 2 2 = rC8 x = rC8x . 2 2 x

令 4-r=0,则 r=4,

1 4 1 35 ∴常数项为 T5=24C8=16×70= 8 .(2)方法一 利用计数原理及排列、组合知识求解.

常数项为

23 8 3 3 3 C6x - =20x - 3 =-160.

x

x

题型分类·深度剖析变式训练 1 (1)(2012· 重庆)

35 A. 16

35 B. 8

2 35 C. 4

x+

1

8 的展开式中常数项为( x

B )

D.105

2 6 -160 . (2)(2012· 上海)在 x-x 的二项展开式中，常数项等于________

方法二

利用二项展开式的通项求解.

2r r 6-r 6-2r Tr+1=C6x - =(-2)rCr x , 6 x 令 6-2r=0,得 r=3.3 所以常数项为 T4=(-2)3C6 =-160.

题型分类·深度剖析题型二3

求最大系数或系数最大的项2 2 n

【例 2】已知( x +3x ) 展开式中各 项的系数和比各项的二项式系数 和大 992. (1)求该展开式中的二项式系数最 大的项； (2)求该展开式中的系数最大的项.

思维启迪

解析

探究提高

题型分类·深度剖析题型二3

求最大系数或系数最大的项2 2 n

【例 2】已知( x +3x ) 展开式中各 项的系数和比各项的二项式系数 和大 992. (1)求该展开式中的二项式系数最 大的项； (2)求该展开式中的系数最大的项.

思维启迪

解析

探究提高

可先根据条件列方程求 n,然 后根据二项式系数的性质及 系数的大小关系求二项式系 数最大的项、系数最大的项.

题型分类·深度剖析题型二3

求最大系数或系数最大的项2 2 n

【例 2】已知( x +3x ) 展开式中各

思维启迪

解析

探究提高

解 项的系数和比各项的二项式系数 令 x=1, 得各项的系数之和为(1+3)n=4n, 而二项式系数之和为 C0 n+2 n n n n n n C1 n+Cn+ +Cn=2 .根据题意，4 =2 +992,得 2 =32 或 2 =-31(舍

和大 992.

去),所以 n=5.

(1)求该展开式中的二项式系数最 (1)二项式系数最大的项为第 3 项和第 4 项， 大的项； 2 3 2 3 2 2 6 3 3 2 2 2 3

T3=C5( x ) (3x ) =90x ,T4=C5( x ) (3x ) = 270x r r r+1 r+1 (2)求该展开式中的系数最大的项. C · 3 ≥ C 3 , 5 5 · (2)设第 r+1 项系数最大，则 r r r-1 r-1 C · 3 ≥ C 3 , 5 5 · 1 ≥ 3 , 5-r r+1 7 9 即 解得 ≤r≤ . 2 2 3≥ 1 , r 6-r

22 3

.

又 r∈N,得 r=4,所以系数最大的项为 T5= 405x

26 3

.