新人教版高中数学必修2空间几何体的结构特征及其三视图同步质量检测(二)

新人教版高中数学必修2空间几何体的结构特征及其三视图同步质量检测

新人教版高中数学必修2空间几何体的结构特征及其三视图

同步质量检测(二)

一、选择题

1.下列说法中正确的是（ ）

A、 棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B、 棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C、 棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

D、 棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A

2.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）

A、 三棱锥 B、 四棱锥 C、 五棱锥 D、 六棱锥 【答案】D

3.过球面上两点可能作出球的大圆（ ）

A、 0个或1个 B、 有且仅有1个 C、 无数个 D、 一个或无数个 【答案】D

4.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（ ）

A、 10 B、 20 C、 40 D、 15 【答案】B

5.以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

【解析】选B.由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确.综上，正确的命题有3个.

6.如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图

形不可能是(

)

【解析】以正方体上底面中心O2与下底面中心O1连线为轴作出截面，截面绕O1O2轴旋转过程中分别出现截面A、B、C，本题需要更强的空间想象力． 【答案】D

7.(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的(

)

【解析】选D 由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.

8.（2013·福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 【答案】D

【解析】球的三视图全是圆，排除A；正方体三视图都是正方形，排除C；

如图在正方体中截出的三棱锥P ABC，三视图全是等腰直角三角形，排除B． 9．（2013·北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A

．28 B

．30 C

．56 D．

60 B

24

3

【答案】B

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【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：S底 10,S后 10,S右 10,S左

面积S 30 ，故选B．

10.(2012·潍坊模拟)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为(

)

(A)3 3 (C)4 2

【解析】选B.由三视图知，该几何体为四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，PC＝2.故PB＝PD＝22，PA＝2＋2＋2＝23，所以最长棱的长为3.

11.(2013·兰州模拟)已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是( )

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．④⑤ D．①④⑤

【解析】由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体．结合各结论知①可能，②不可能，③，④，⑤都有可能． 【答案】A

12.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为( )．

【答案】C

13.(理)将三棱柱截去三个角(如图(1)所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体(如图(2))，则该几何体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为(

)

【解析】当三棱柱没有截去三个角时，侧视图如图(1)所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图(2)

所示．故选A.

【答案】A

14.(2013·长春模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是(

)

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【解析】题中提供的选项中，图②④可表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图，选C. 【答案】

C

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15.(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )

A．1

B.32

2

2 D.3 解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时， ∵面ACD1∥面A1BC1，

∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a3a2， ∴a6

3

. ∴投影面的面积为34× 6 3 2

＝3.

此时投影面积最大，故D正确． 二、填空题

16.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是------------。

17.一个圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面面积是----------------。 【答案】 Q

18．正方体的棱长和外接球的半径之比为. 【答案】2∶3

【解析】正方体的对角线是外接球的直径．

19.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 .

【答案】160

【解析】设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l12＝152－52，l22＝92－52，而l12＋l2

2

＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面＝4×8×5＝160．

20.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D

′OEF在该正方体的面上的正投影可能是____________(填出所有可能的序号)．

【解析】①是四边形在平面ABB′A′或CDD′C′上的投影；②是四边形在平面ADD′A′或BCC′B′上的投影；③是四边形在平面ABCD或A′B′C′D′上的投影．

【答案】①②③

21.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱

④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

22.(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为

________．

(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)

【解析】由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为7.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.

【答案】8 2π

3

三、解答题

23.一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶

点作截面，

求这截面的面积。

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【解析】如图，正三棱柱ABC—A/B/C/，符合题意的截面为A/BC，在RtA/B/B中，A/B/=4，BB/

=6

∴A/

在等腰A/BC中，BO=

1

2

4=2 A/OBC，∴A/

∴SA/BC=

12BC·A/O=12

·

∴这截面的面积为24.圆锥底面半径是6，轴截面顶角是直角，过两条母线的截面截去底面圆周的

1

6

，求截面面积。

【解析】由题意知：，

∠BOC=

2 6=

3

，∴OB=OC=BC=6。

∴

∴S1SCB=

2

·

= 解题提示： 通过解三角形可使问题自然获解。

25.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求由A到C1在长方体表面上的最短距离为多少？ 【解析】展开1如图(1)所示：

AC1＝5＋1

＝26；

展开2如图(2)所示：AC13＋3＝2；

展开3如图(3)所示：AC14＋2＝5. 由A到C1在长方体表面上的最短距离为32.

26.7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．

【解析】如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C7，则它的正视图投影长为A1B＝6，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋(6)2＝7)2，即a2＋b2＝8，

又a＋b

a＋b22

，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立． ∴a＋b≤4.

即a＋b的最大值为4.

27.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，

求该三角形的斜边长．

【解析】如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2， △DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，

设DF长为x，则DE＝EF＝2

2x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，

则EG＝DE－DG＝2－4，FI＝EF－EI＝2

4，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝

222222－4，在Rt△DHF中，DF＝DH＋FH，即x＝4＋(224))2，解得x＝23.即该三角形

的斜边长为23.