2012届高考数学(理科)新难题型荟萃1(4)

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又f( 2)

13

e，∴ f(x)在 2, 上的最小值为f( 2)---8分 e2

从而当t 2时,f( 2) f(t)，即m n --------------9分

f'(x0)2f'(x0)22

(t 1) x x（3xx， 0000

e3e

22

(t 1)2,令g(x) x2 x (t 1)2,从而问题转化为证明方程332

g(x) x2 x (t 1)2=0在( 2,t)上有解,并讨论解的个数------10分

32221

∵g( 2) 6 (t 1)2 (t 2)(t 4)，g(t) t(t 1) (t 1)2 (t 2)(t 1),

3333

∴x0 x0

2

①当t 4或 2 t 1时,g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且只有一解

②当1 t 4时,g( 2) 0且g(t) 0,但由于g(0)

2

(t 1)2 0, 3

所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且有两解----------------------------13分

③当t 1时,g(x) x2 x 0 x 0或x 1,故g(x) 0在( 2,t)上有且只有一解； 当t 4时,g(x) x2 x 6 0 x 2或x 3,

所以g(x) 0在( 2,4)上也有且只有一解------------------------14分

f'(x0)22

(t 1)综上所述, 对于任意的t 2,总存在x0 ( 2,t),满足, ex03

且当t 4或 2 t 1时,有唯一的x0适合题意；

当1 t 4时,有两个x0适合题意.-------------------------------15分 （说明:第（3）题也可以令 (x) x x,x ( 2,t),然后分情况证明内,并讨论直线y

2

2

(t 1)2在其值域3

2

(t 1)2与函数 (x)的图象的交点个数即可得到相应的x0的个数） 3