南昌大学2010级高数(下)试题及答案

南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

y 22

1. 设f x y, x y，则f x,y _____.

x

2. 设z e

xy

22

，则dz 1,1 _________________.

3x2 2y2 12

3. 曲线 绕y轴旋转一周得到的

z 0

旋转曲面方程为_______. 4. 交换积分次序 1dx 05. 将函数f x

19 4x

2

01f

x,y dy为________.

展开成x的幂级数

为__________.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ ）

（A）函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （B）函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点； （C）可微函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （D）可微函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点．

x y

2．设u yf xf ，

x y

其中f 具有二阶连续导数， 2

2

则x

2

u x

2

y

2

u y

2

等于（ ）

（A）x y ；（B）x ；（C）y ；（D）0 ． 3．设非齐次线性方程y P x y Q x 有两个不同的解y1 x ，y2 x ，C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A）C y1 x y2 x ； （B）y1 x C y1 x y2 x ； （C）C y1 x y2 x ； （D）y1 x C y1 x y2 x ．

4．设有级数 un，则以下命题成立的是（ n 1 （A）若 un收敛，则 un收敛；

n 1

n 1

）

n 1 n 1

n 1 n 1

（B）若 un收敛，则 un收敛； （C）若 un发散，则 un发散； （D）以上三个命题均是错误的． 5．设 1：x y z R，z 0；

2：x y z R，x 0，y 0，z 0，

2

2

2

2

2

2

2

2

则有（ ）

（A） xdV 4 xdV； （B） ydV 4 ydV；

1

2

1

2

（C） xyzdV 4 xyzdV； （D） zdV 4 zdV．

1

2

1

2

三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设z ecos 2x y ，求

xy

z x

，

z y

2、判断级数

n 1

2

n

n!

的敛散性．

x 1

x 1y 2z 1y t 1 3、求与两条直线 及都平行

121 z t 2

且过点（3，-2，1）的平面方程．

4、设函数

z z x,y 是由方程xy z ez

所确定的隐函数，求

z x

，

z y

四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1

、计算 L，其中L为摆线的一拱

x t sint，y 1 cost 0 t 2 ．

2、计算I L2

x2 y2

dx x y 2

dy， 其中：L是以点A 1,1 ，B 2,2 ，C 1,3

为顶点的三角形正向边界．

3、利用高斯公式计算曲面积分

xdydz

ydzdx zdxdy，

其中

为z 五、解答题(共14分，每小题7分)

1、求幂级数

x

n

的收敛域及和函数．

n 0

n 2

2、设函数 x 具有连续的二阶导数，

0 0 1，且曲线积分

L 3 x 2 x

ydx x dy 与路径无关，求函数 x ． 六、应用题(本题满分6分)

求椭球面4x2

y2

z2

6上点 1,1,1 处的切平面

与三个坐标面所围成的立体的体积． 七、证明题(本题满分5分)

设级数 un和 vn都收敛，且存在正整数N， n 1

n 1

当n N时有un wn vn，证明级数 wn收敛．

n 1

南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设f y x y, 22

x x y ，

则f x,y x

2

1 y

1 y

.

2. 设z e

x2

y

2

，则dz 1,1

2e dx dy

.

3x2 2y2 12

3. 曲线

z 0绕y轴旋转一周得到的

旋转曲面方程为

3x z

22

2y

2

12

.

4. 交换积分次序 1dx 0

为 0dy 1

1

1f

x,y dy

f

x,y dx. 1

5. 将函数f x

9 4x

n

2

展开成x的

n

幂级数为 1

n 0

49

n 1

x

2n

3 3

x

2 2

.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ C ）

（A）函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （B）函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点； （C）可微函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （D）可微函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点．

x y

2．设u yf xf ，

x y

其中f 具有二阶连续导数， 则x

2

u x

2

2

y

2

u y

2

2

等于（ D ）

（A）x y ；（B）x ；（C）y ；（D）0 ． 3．设非齐次线性方程y P x y Q x 有两个 不同的解y1 x ，y2 x ，C 为任意常数， 则该方程的通解是（ B ） （A）C y1 x y2 x ； （B）y1 x C y1 x y2 x ； （C）C y1 x y2 x ； （D）y1 x C y1 x y2 x ．

4．设有级数 un，则以下命题成立的是（n 1 （A）若 un收敛，则 un收敛； n 1n 1

（B）若 un收敛，则 un收敛； n 1n 1 （C）若 un发散，则 un发散； n 1

n 1（D）以上三个命题均是错误的． 5．设 2222

1：x y z R，z 0；

2222

2：x y z R，x 0，y 0， A z 0，

）

则有（ D ）

（A） xdV 4 xdV； （B） ydV 4 ydV；

1

2

1

2

（C） xyzdV 4 xyzdV； （D） zdV 4 zdV．

1

2

1

2

三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设z ecos 2x y ，求

z x

xyxy

z x

，

xy

z y

解:

yecos 2x y 2esin 2x y

z y

xecos 2x y esin 2x y

xyxy

2、判断级数

n 1

2

n

n!

的敛散性．

2

nn 1

lim解: n

un 1un

lim

n!

n

2 n 1 !

lim

2n 1

n

0 1

所以该级数收敛。

x 1 x 1y 2z 1y t 1 3、求与两条直线 及都平行

121 z t 2

且过点（3，-2，1）的平面方程．

解: 设所求平面法向量为 n，又已知直线的方向

向量分别为：s1 0,1,1 ，s2 1,2,1 . 取

ijk

n s1 s2 011 1,1, 1 ，

121

所以所求平面方程为：

x 3 y 2 z 1 0

即x y z 6 0.

4、设函数

z z x,y 是由方程xy z ez

所确定的隐函数，求

z z x

，

y

解: 设F x,y,z xy z ez

，则 ： Fx y，Fy x，Fz 1 ez

z

所以

x

FxF

yz

，

z

e 1

z y

FyxF

z

ez

1

四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1

、计算 L，其中L为摆线的一拱

x t sint，y 1 cost 0 t 2 ．

解:

L

2

2

1

cot sdt 2

2、计算I

2

2

x y 2

L2x ydx dy， 其中：L是以点A 1,1 ，B 2,2 ，C 1,3

为顶点的三角形正向边界．

解: 直线段AB方程：y x 1 x 2 ，

直线段BC方程：x y 4 1 x 2 记折线段AB，BC，CA所围成区域为D，由格林公式得：

I

2

2

L2 x

y

2

dx x y

dy

y dxdy 2 2

4 x

2 x1dx x x y dy

10

D

3

3、利用高斯公式计算曲面积分

xdydz

ydzdx zdxdy，

其中

为z

解: 记平面z 0 x y 4为 1，取下侧，

22

由 和 1所围成闭区域为 ，

P x，Q y，R z，

P x 1，

Q y

1，

由高斯公式可得

xdydz ydzdx zdxdy

1

P Q R 3dV 16

x

y zdV

在平面 2

1：z 0

x2

y 4

上，

xdydz ydzdx zdxdy 0

1

所以 xdydz ydzdx zdxdy 16

五、解答题(共14分，每小题7分)

x

n

1、求幂级数

n 0

n 2

的收敛域及和函数．解: a1n

1n 2

an 1

n 3

R z

1

ann 3所以收敛半径R limn

a lim

n 1

n 2

1n

n

当x 1时，原级数化为

1

n 0n 2

，收敛

当x 1时，原级数化为

1

n 0

n 2

，发散

所以收敛域为 1,1

设

x

n

的和函数为S x ，即

n 0

n 2

x

x

n

Sn 0

n 2

，x 1,1

2

于是xS x

x

n 2

n 0

n 2

，逐项求导得

x2

S x

x

n 1

x

n 0

1 x

x 1

上式从0到x积分，得：

x2

S x

x

x2

dx x

x0 S x 0

1 x

dx x ln 1 x 于是，当x 1,0 0,1 时，有：

S x

1x

1x

2

ln 1 x 而 S 0 a1

0 2

， 故：

1 1

2ln 1 x x 1,0 0,1

S x

xx

1 2

x 0

2、设函数 x 具有连续的二阶导数，

0 0 1，且曲线积分 L 3 x 2 x ydx x dy

与路径无关，求函数 x ．

解: P 3 x 2 x y，Q x

QP由于曲线积分与路径无关，所以 x

y

，又

Q x

x P，

y

3 x 2 x ，

故 x 3 x 2 x ，

即： x 3 x 2 x 0

2r特征方程为 3r 2 0，r1 1，r2 2

的通解为： x C1e C2e，

又 0 0 1，所以：C1 C2 1，C1 2C2 1 从而C1 1，C2 0，因此 x e. 六、应用题(本题满分6分)

求椭球面4x y z 6上点 1,1,1 处的切平面

2

2

2

x2x

x

与三个坐标面所围成的立体的体积． 解: 设F x,y,z 4x y z 6，

则Fx 8x，Fy 2y，Fz 2z，

则法向量n Fx,Fy,Fz 1,1,1 8x,2y,2z 1,1,1 8,2,2 ，

2

2

2

所以椭球面4x y z 6上点 1,1,1 处的

2

2

切平面方程为：8 x 1 2 y 1 2 z 1 0 即：4x y z 6 0

则平面4x y z 6 0与三个坐标面所围成的立体：

3

x,y,z 0 x ,0 y 6 4x,0 z 6 4x

2

y ，

记其体积为V. 所以：

V

dV

n 1

6 4x6 4x y2dxdydz000

3

9

七、证明题(本题满分5分)

n 1

设级数 un和 vn都收敛，且存在正整数N， 当n N时有un wn vn，证明级数 wn收敛．

n 1

证明: 当n N时有un wn vn，则0 wn un vn un，

n 1

n 1

因为级数 un和 vn都收敛， 所以

n N 1

vn un 收敛，由比较判别法可知

wn un 收敛，由收敛级数性质知

n N 1

n N 1

wn

n N 1

w u u nnn 收敛，因此再由收

敛级数性质可知级数 wn收敛．

n 1