数值计算方法试题及答案

湖南科技大学考试试题 (2008 -200 9 学年第二学期)

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班级 考试时量 命题教师 交题时间：2009 年 4月 22日 考试时间：2009 年5 月 17日 一、选择题（每小题4分，共20分）

1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）

A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

0126653

f[3,3,3, ,3] （ C ） f(x) 2x 3x x 1 2. 若，则其六阶差商

A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为 （ D ）

A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （ B ）

A. 都发散； B. 都收敛

C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散； D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y，Euler方法的绝对稳定区间为（ C ）

A. 2 h 0； B. 2.785 h 0 ； C. 2 h 0； D. 2.785 h 0 ； 二、填空题（每空3分，共18分）

1 2 x (1, 2),A 34

，则 x 1. 已知

2

5A2 221Ax1

， 16 ，

2. 已知f(4) 2,f(9) 3，则 f (x)的线性插值多项式为L1(x) 0.2(x 6)且用线性插值可得f

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表，

x 1.8

f (x) 3.12014

2.0 4.42569

2.2 6.04241

2.6

2.4 8.03014

2.6 10.46675

1. 用复化梯形公式计算积分

I

1.8

f(x) dx

的近似值；

n 4,h

解：1.用复化梯形公式计算 取

2.6 1.8

0.24 1分

n 1

h

T4 (f(a) 2 f(xk) f(b))

2k 1

30.2 (f(1.8) 2 f(1.8 0.2k) f(2.6))2k 1

4分5分7分

5.058337

2. 用复化Simpson公式计算积分的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）

I

2.6

1.8

f(x) dx

n 2,h

解：用复化辛甫生公式计算 取

2.6 1.8

0.42 8分

11分12分14分

n 1n 1

h

S2 (f(a) 4 f(xk 1) 2 f(xk) f(b))2

6k 0k 1

0.4

{f(1.8) 4[f(2.0) f(2.4)] 2f(2.2) f(2.6)}6

5.033002

214 A 441

6512 ，求矩阵A的Doolittle分解。 （10分） 四、已知矩阵

解：用紧

法

n 1n 1

h

S2 (f(a) 4 f(xk ) 2 f(xk) f(b))

6k 0k 10.4 {f(1.8) 4[f(2.0) f(2.4)] 2f(2.2) f(2.6)}6

5.033002

11分12分14分

u13 a13 4 2分

u11 a11 2u12 a12 1

l21

a

2a11

l32

u22 a22 l21 u12

2

u33 a33 l31 u13

l32 u23 7

u23 a23 l21 u13

7

5分

a

l21 3

a11

a32 l31 u12

u22

1

8分

1 214

A LU 21 2 7

311 7 10分

五、用Newton迭代法求解方程x 3x 1 0在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。 （12分）

3

f(x) x 3x 1 0， x0 2.0 解：

3

x xf(x33

k)xk 3xk 12xk 1

k 1k

f (x) xk 3x2

2

kk 33xk 3 6分

x1

2x03

1

2 23 1

3x02 33 22 3

17

9

1.8889 8分

x2x32

1 1794x2x33

1.8794

3x1

2 3

1.8，

3x22

3

1 11分

故，方程的近似根为1.8974 12分

六、对下面线性方程组 （12分）

x1 0.4x2 0.4x3 1 0.4x1 x2 0.8x3 2 0.4x1 0.8x2 x3 3

1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:

A是对角元素为正的实对称阵,下面判别A 和 2D A是否同时正定:

0.40.4 0 ,10.41

0.4

1

1 0.16 0 ,0.4

1

0.8 0.296 00.40.8

1

A正定 5分

0.4 0.4 2D A 1

0.41 0.8

0.4 0.81

0 ,1

0.41

0.4 0.4 0.4

1

1 0.16 0 , 0.4

1

0.8 0.216 0 0.4 0.8

1

2D A不正定.即A 和 2D A不同时正定 8分

故,Jacobi法发散. 92. 高斯-塞德尔法:由1知, A是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛. 10 x(k 1) 1 0.4x(k) 0.4x(k) 1

23

x(k 1) 2 0.4x 2

1(k 1) 0.8x(3k)

(k 1)(k 1)(k 1)其迭代格式为 x3 3 0.4x1 0.8x2

12分

y' x y,0 x 0.4

七、已知初值问题：

y(0) 1 ，取步长h =0.1，

分 分

1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；

2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。 （14分） 解：1 .建立具体的Euler公式:

yn 1 yn hf(xn,yn) yn 0.1(xn yn) 0.1xn 0.9yn 3分

1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4，则有：

y已知0

y1 0.1x0 0.9y0 0.9

y2 0.1x1 0.9y1 0.1 0.1 0.9 0.9 0.82 5分

y3 0.1x2 0.9y2 0.1 0.2 0.9 0.82 0.758

y4 0.1x3 0.9y3 0.1 0.3 0.9 0.758 0.712 2 解：2.建立具体的改进的Euler公式:

yp yn hf(xn,yn) 0.1xn 0.9yn yc yn hf(xn 1,yp) 0.09xn 0.91yn 0.01

yn 1 2(yp

yc) 0.095xn 0.905yn 0.005 已知y0

1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4则有：

y1 0.095x0 0.905y0 0.005 0.91

y2 0.095x1 0.905y1 0.005

0.095 0.1 0.905 0.91 0.005 0.83805 y3 0.095x2 0.905y2 0.005

0.095 0.2 0.905 0.83805 0.005 0.78243525

y4 0.095x3 0.905y3 0.005

0.095 0.3 0.905 0.78243525 0.005 0.7416039

有根祝大家：7分

10分12分

分

14