2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1.已知全集U R,A {x|x 0},B {x|x 1}，则集合CU(AB) （ ）

A．{x|x 0} B．{x|x 1} C．{x|0 x 1} D．{x|0 x 1}

2.设复数z满足(z 2i)(2 i) 5，则z （ ）

A．2 3i B．2 3i C．3 2i D．3 2i

3.已知a 2 1

3，b log211,c log1，则（ ） 323

A．a b c B．a c b C．c a b D．c b a

4.已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）

A．若m// ,n// ,则m//n B．若m ，n ，则m n

C．若m ，m n，则n// D．若m// ，m n，则n

5.设a,b,c是非零向量，已知命题P：若a b 0，b c 0，则a c 0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（ ）

A．p q B．p q C．( p) ( q) D．p ( q)

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）

A．144 B．120 C．72 D．24

7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．8 2 B．8 C．8 D．8

24

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8.设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（ ）

A．d 0 B．d 0 C．a1d 0 D．a1d 0

个单位长度，所得图象对应的函数（ ） 23

7 7 ]上单调递减 B．在区间[,]上单调递增 A．在区间[,12121212

C．在区间[ ,]上单调递减 D．在区间[ ,]上单调递增 63639.将函数y 3sin(2x )的图象向右平移

10.已知点A( 2,3)在抛物线C：y2 2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）

A．1234 B． C． D． 2343

3211.当x [ 2,1]时，不等式ax x 4x 3 0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．[ 5, 3] B．[ 6, ] C．[ 6, 2] D．[ 4, 3]

12.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：

①f(0) f(1) 0；②对所有x,y [0,1]，且x y，有|f(x) f(y)|

若对所有x,y [0,1]，|f(x) f(y)| k，则k的最小值为（ ）

A．981|x y|. 21111 B． C． D． 8242

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.执行右侧的程序框图，若输入x 9，则输出y

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14.正方形的四个顶点A( 1, 1),B(1, 1),C(1,1),D( 1,1)分别在抛物线y x2和y x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是

.

x2y2

1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别15.已知椭圆C：94

为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN| |BN| .

16.对于c 0，当非零实数a，b满足4a 2ab 4b c 0，且使|2a b|最大时，22

345 的最小值为abc

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在 ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且a c，已知BA BC 2，cosB 1，3b 3，求： (1) a和c的值； （2）cos(B C)的值.

18. （本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

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将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).

19. （本小题满分12分）

如图， ABC和 BCD所在平面互相垂直，且AB BC BD 2，

ABC DBC 1200，E、F分别为AC、DC的中点.

（1）求证：EF BC；

（2）求二面角E BF C的正弦值

.

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20. （本小题满分12分）

圆x2 y2 4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，

x2y2

切点为P（如图），双曲线C1:2 2 1过点P

ab

（1）求C1的方程；

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程

.

21. （本小题满分12分） 已知函数f(x) (cosx x)( 2x) (sinx 1) 8

3

g(x) 3(x x)cosx 4(1 sinx)ln(3

证明：（1）存在唯一x0 (0,

（2）存在唯一x1 (

2x ). 2)，使f(x0) 0； 2, )，使g(x1) 0，且对（1）中的x0 x1 .

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请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：

AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线l:2x y 2 0与C的交点为P1,P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段PP12的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

2设函数f(x) 2|x 1| x 1，g(x) 16x 8x 1，记f(x) 1的解集为M，g(x) 4

的解集为N.

（1）求M；

（2）当x M

N时，证明：x2f(x) x[f(x)]2 1. 4