三角函数-4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(教师)

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第四编 三角函数及三角恒等变换 主备人 张灵芝 总第17期

§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础自测

1.（2008·常州模拟）sin( + )-cos( + )·cos(- )+1的值为 . 答案 2

2.sin210°= . 答案

12

2

12

3.已知tan =

55

,且 ∈ ,

3

2

，则sin 的值是 .

答案 4.若

=2,则sin( -5 )·sin

3

2

sin cos sin cos

= .

答案

310

55

5.已知sin =答案

35

，则sin -cos 的值为44

例题精讲

例1 已知f( )=

sin( )cos(2 )tan( )

tan( )sin( )

;

3 1

2 5

(1)化简f( ); (2)若 是第三象限角，且cos 解 (1) f（ ）=

sin cos ( tan )

tan sin

，求f( )的值.

=-cos .

3

(2)∵cos

2

25

=-sin ,∴sin =-

15

,cos =-

5

2

15

2

25

6

,

∴f( )=

例2 已知-

2

6

.

15

＜x＜0,sinx+cosx=.

1

cos

2

(1)求sinx-cosx的值； （2）求解 （1）方法一 联立方程：

x sin

2

的值.

x

109

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

cosx 1　 sinx　①

5 由①得sinx=

1-cosx,将其代入②，整理得

sin2x cos2x ②5

1　

sinx325cos2

x-5cosx-12=0∵-

2＜x＜0,∴ 5

cosx 4

,所以sinx-cosx=-

75

52

方法二 ∵sinx+cosx=15

,∴(sinx+cosx)

2

= 1

,即1+2sinxcosx=

1,

5

25

∴2sinxcosx=-24，∵(sinx-cosx)2

=sin2

x-2sinxcosx+cos2

25

x

=1-2sinxcosx=1+24=

49 ①，又∵-

＜0,cosx＞0,∴sinx-cosx＜0 25

25

2

＜x＜0,∴sinx由①②可知：sinx-cosx=-7.

5

sinx cosx1

sinx 3 (2)由已知条件及（1）可知

5

,解得

5

sinx cosx 7,

cosx

5 4

5sin

2

x cos2

x

2∴tanx=-

31

sin2x cosx=

cos

2

x

tan

2

x 1

4

.，又∵

cos

2

x sin

2

x

cos

2

x sin

2

x

cos

2

sin

2

=

x

1 tan2

xx

cos2

x

3

2

=

4 1

1 3 2

257

4

例3 已知tan =2,求下列各式的值： (1)

2sin 3cos 2sin2 3cos2 4sin 9cos

;(2)

;

4sin

2

9cos

2

(3)4sin2

-3sin cos -5cos2

. 解 （1）原式=

2tan 34tan 9

2 2 34 2 9

1

.

2sin22）

3cos 2 32 22（24sin

2

9cos

2

2tan

3

5.

4tan

2

9

4 2

2

9

7

(3)∵sin2 +cos2

=1,

∴4sin2 -3sin cos -5cos2

=

4sin

2

3sin cos 5cos

2

4tan

2

3tan 5

4 4 3 2 5

sin

2

cos

2

=

2

4 1

1.

tan 1

110

②

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

巩固练习

3

tan( )cos(2 )sin

2

cos( )sin( )

1.化简.

( tan ) cos( ) sin

2

( cos ) sin

解 原式=

( tan ) cos ( ) sin

2

cos( ) sin( )=

=

tan cos ( cos )

cos sin

=

tan cos

sin

=

sin cosa

cosasin

=-1.

2.已知sin +cos =

15

33

, ∈(0, ).求值：（1）tan ;(2)sin -cos ;(3)sin +cos .

解 方法一 ∵sin +cos =∴sin cos =-解方程得x1=

45

1225

15

, ∈(0, ),∴(sin +cos )=

2

125

=1+2sin cos ，

2

＜0.由根与系数的关系知，sin ,cos 是方程x-35

15

x-

1225

=0的两根，

,x2=-43

.∵sin ＞0,cos ＞0,∴sin =

75

33

.(3)sin +cos =

45

,cosθ=-37

35

.

∴(1)tan =-.(2)sin -cos =

125

.

方法二 （1）同方法一.

（2）（sin -cos ）=1-2sin ·cos =1-2×

2

12

25

=

4925

.

75

∵sin ＞0,cos ＜0,∴sin -cos ＞0,∴sin -cos =.

15

3322

(3)sin +cos =(sin +cos )(sin -sin cos +cos )=× 1

12

25

=

37125

.

3.已知sin( +k )=-2cos( +k ) (k∈Z). 求:(1)

4sin 2cos 5cos 3sin

; (2)

14

2

sin +

25

2

cos .

解 由已知得cos( +k )≠0,∴tan( +k )=-2(k∈Z),即tan =-2. （1）

4sin 2cos 5cos 3sin

4tan 25 3tan 1

22

10

.

1

25 725

(2)

14

2

sin +

25

2

cos =

4

sinsin

25

cos

2

2

=

4

tantan

22

1

.

cos

回顾总结 知识

111

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

方法 思想

课后作业

一、填空题

1. 是第四象限角，tan = 答案

513

512

，则sin = .

2.（2008·浙江理）若cos +2sin =-答案 2

5

,则tan = .

3.（2008·四川理）设0≤ ＜2 ,若sin ＞答案

3

,4

3

3

cos ,则 的取值范围是 .

1213

4. 是第四象限角，cos =，则sin = .

答案 5.sin(

2

5

13

+ )-cos( + )cos(- )+1的值为 .

答案 2

6.若sin +cos =tan 0

2

，则 的取值范围是 .

答案

4

,

3

,且 是第四象限的角,那么cos

7.如果cos =

25

2

15

2

= .

答案

6

8.化简:

sin( ) cos( ) cos( 2 )tan( ) sin(

3

2

= .

) sin( 2 )

答案 1 二、解答题 9.已知cos( + )=-(1)sin(2 - ); (2)

sin (2n 1) sin (2n 1)

sin( 2n ) cos( 2n )

12

,且 是第四象限角，计算：

(n∈Z).

112

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

解 ∵cos( + )=-

12

,∴-cos =-

12

,cos =

12

,

32

又∵ 是第四象限角，∴sin =-

cos

2

.

32

（1）sin(2 - )=sin［2 +(- )］=sin(- )=-sin =（2）

sin (2n 1) sin (2n 1)

sin( 2n ) cos( 2n )sin( ) sin( )

sin cos

.

=

sin(2n ) sin( 2n )

sin(2n ) cos( 2n )

==

sin sin( )

sin cos

=

2sin sin cos

=

2cos

=-4.

10.化简：

1 cos1 cos

46

sin sin

46

22

.

sin sin

2

22

解 方法一 原式=方法二 原式=

(cos(cos

) cos ) cos

23

246

sin

46

=

3cos

2cos

2

2

2

sin

2

2

sin

4

sin (cos sin )

2

23

.

(1 cos(1 cos

2

)(1 cos

2

) sin

4

)(1 cos cos ) sin

6

解 方法设k=2m (m

方法二 由(k + )+(k - )=2k , ［(k-1) - ］+［(k+1) + ］=2k

,

一 当k为偶数时，∈Z),则

113

高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习

得sin(k - )=-sin(k + ), cos［(k-1) - ］=cos［(k+1) + ］ =-cos(k + ),

sin［(k+1) + ］=-sin(k + ).

12.已知sin( - )-cos( + )=

（1）sin -cos ;

2

3 2

.求下列各式的值：

114