SARS传播的数学模型

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摘 要

通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当λ1 =1.5 和λ2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。

关键词：SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线

SARS传播的数学模型

一 、问题的提出

SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

二 、模型的假设

1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。 2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免

疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。 5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS

病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病

毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立

（一）参数的设定和符号说明

s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例 i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例 l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例

r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

1：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）

的平均人数。

u

：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

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2：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立

模型一 感染为SARS患者情况

由假设，每个病人每天可使 1s(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)，所以每天共有 1Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是 1Nsi就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为 ，死亡率为 ，所以每天有 Ni个病人被治愈，有 Ni个病人死亡。那么病人的感染为

Ndidt

Nsi Ni Ni

由于

s(t) i(t) r(t) 1 (1)

对于退出者

drdt

i

( 为所有退出者比例之和) (2)

由假设可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下：

di

1s1i ui i dt ds

1 si

11

dt

i(0) i0s(0) s0

(3)

r(0) 0 (4)

模型二 疑似患者的变化情况

与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：

dl

2s2l l dt ds

2 sl

22

dt

(5)

四、模型求解

（一）参数的确定和分析：

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1. , , 的确定

=

每天治愈的人数当天病人总数

， =

每天确诊的人数当天疑似病人总数

， =

每天死亡的人数当天病人总数

用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得： =0.055076， =0.038183，（处理数据见附件） =0.002443。

2． 1, 2的确定

(1)确定 1

很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、i0、s0的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s、i、i0、s0做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对 1取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当 1 1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：

<图1>:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）

<图2>通过数值解作出的i关于时间t 的变化（画图程序见附件）

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分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的i~t曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，<图2>在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。

（2）确定 2

与确定 1时类似，先根据实际数据画出图形 <图3>实际数据图形

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然后再对 2取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当 2 1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：

<图

4>

在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。

五、结果分析与检验

（一）讨论 i t ,s t 的性质

s~i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s,i) D为

D (s,i)|s 0,i 0,s i 1

从模型（一）中消去dt，利用 的定义，可得

由（6）式解得

i s0 i0 s

1

dids

1

.s

1, i|s s0 i0

（6）

*ln(

ss0

)

（7）

（二）对于合理确定的 1 1.5，我们可以画出i~s图，图形如下： <图5>（画图程序见附件

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由于在这个SARS病毒发展过程中，

是变化的，故可以画出 取不同值时的

图形，如下

取1/ 0.4192，0.2858、0.1858时的图形。 <图

6>

分析（3）式和（7）式，可知：

i0如何，1． 不论初始条件s0，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即i 0。

证明省略。

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从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。

2． 设最终未被感染的健康者的比例是s ，在（7）式中令i 0得到方程

s0 i0

1lns s0

0 （8）

s 是（8）在（0,1/ ）内的根，在图形上s 是相轨线与s轴在（0,1/ ）内交点

的横坐标。

对于确定下来的1/ =0.0383，可以代入（8）式解出s ≈0

3． SARS疾病传染过程分析

整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数 1/ 随着治愈率 、死亡率 和接触率 1的不断变化而变化。

（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率 和死亡率 很小，而接触率

1相对较大，所以1/ 很小。

当s0 1/ ，则i(t)开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。 （2）当s0=1/ 时，i(t)达到最大值

im s0 i0

1

(1 lns0 ) （9）

对于我们确定的 1 1.5，可以求出im 0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。 （3）当s0<1/ 时，i(t)单调减小至零，s(t)单调减小至s 。这一时期病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。 4．群体免疫和预防

根据对模型的分析，当s0≤1/ 是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/ 变大以外，另一个途径是降低s0，这可以通过预防接种使群体免疫。

第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。

忽略病人比例的初始值i0，有s0=1-r0，于是SARS不再蔓延的条件s0≤1/ 可以表示为：

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r0 1

1

（10）

所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0满足（10），就可以制止SARS的蔓延。

5．数值验证与估量

根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率 ，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值r0。我们以最终未感染的健康者的比例s 和病人比例达到最大值im，作为传染病蔓延程度的度量指标。

给定不同的 ， ，s0，i0，用（8）式计算s ，用（9）式计算im

从计算得到的s 和im可以看出：

（1）对于一定的s0，降低 ，提高 ，使阈值1/ 变大，会使s 变大，im变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。

（2）对于一定的 ， ，提高r0 ，会使s 变大，im变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS蔓延的速度。

在（8）式中略去很小的i0，即有

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lns0 lns

s0 s

（11）

6．模型验证

首先，由方程（1）和（3）可以得到

s(t) s0e r(t) （12）

drdt

(1 r s0e

r

)

（13）

当r 1/ 时，取（13）式右端e rTaylor展开的前三项，在初始值r0 0下的解为

r(t)

1s0

2

t

(s 1) th( ) （14） 0 2

s0 1

其中 2 (s0 1)2 2s0i0 2,th

drdt

2

,从（14）式算出

2

2s0 ch(

2t

2

（15）

)

将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到

i(t) (s0 i0) s0e

1 t

) (s0 1) th(

s0 2

1s0

2t

(s 1) th( )0 2

（其中 2 (s0 1)2 2s0i0 2，th

s0 1

）

对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率i(t)做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。

7．对卫生部措施的评估

在模型中， 1的取值大小能充分反映接触率的变化。

若采取的隔离措施提前T天，那么 1将相应减小，反之则增加。不妨将 1的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。

〈图7〉

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〈图8〉

由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。至于到底提前或延后几天最好，还有待进一步研究。

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六、模型评价及改进

1、评价

模型首先根据所给数据的分析，采用微分方程建立两个模型，分设变量。再通过统计数据与数据拟和求得各自的参数值，利用数值计算得到结果并加以分析，得出传染病的传染规律，最后根据此分析提出对传染病预测与控制的方案。

模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合的方法，先有感性认识，再用相轨线做理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术与建模的配合。

模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制，再加之数值解的不确定性，模型对长时间的预测有它的局限性。因时间限制模型没能更多考虑交叉分类进行。

2、改进

若能建立以随机偏微分方程组为基础的数学模型，将大大提高计算的准确性与可靠性，使得预测更加准确，但这样做将遇到模型求解，数据准确收集和数值求解的不精确性等诸多困难。

七、对附件1模型的评价

1、合理性

该模型的基本假设符合事实，对照解得的结果与实际病例数据也相当吻合，所以该模型基本是合理的。具体表现：模型中的参数K（平均每病人每天可传染K个人）、L（平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天）的确定是由已公布的数据统计计算和数据拟合得来，具有一定的可靠性。特别是对K的分段处理，反映了传染病的许多特性，同时也反应了社会的警觉程度、政府和公众采取的措施反过来也会影响K值。但是该模型建立得较为粗糙，它没有考虑疑似病例患者和已治愈病人的情况。因此为使建立的模型更准确，更符合实际，考虑将该模型优化的方向是把疑似病例患者和治愈患者加入到模型中。

2、实用性

模型对北京地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型有一定的实用性。但对后期预测与后来的实际情况却有一定差距，同时该模型中K值是从香港和广州两地实际情况统计处理得来，而实际上，各地区的政策及人们生活习惯各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。所以该模型的实用性有一定局限。

八、SARS对北京旅游人数影响的经济模型

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依据上表的统计数据，我们分别建立回归模型对各个月的游客数量进行预测。 由MATLAB统计工具箱中的回归分析命令，编程可解得：若没有受SARS冲击，2003年1月到12月游客将达到的数量。再用当月实际游客量变化所呈现的规律对9月到12月进行预测，最后分别模拟作出受到SARS冲击前后的游客量随时间的变化趋势图。具体求法如下：

我们记1997年为开始记为t=0,那么2003年就可表示成t=6。 将年份用矩阵表示为：t=[0,1,2,3,4,5,]；

每年1月的游客量用矩阵表示为：y=[9.4，9.6，10.1 ，11.4 ，11.5 ，13.7] MATLAB命令：[p,S]=polyfit(t,y,2) %二次多项式回归

y=polyval(p,6) %计算出t=6,即2003年一月的预测量

计算得y=15.2000，再用同样方法求得2003年2月到12月的预测数量依次为36.4700、25.9700、32.1500、32.8300、31.6000 、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函数：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y) 作出如下曲线图9

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再由2003年各月实际量推算出9月到12月的游客量分别为15.4127 、20.1860 、26.1721 、33.3709。同样我们作出图

10

为便于直观分析我们将两组数据所作出的图形移到图11中：

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模型分析：从图中我们可以看到，1月份实际游客量与预测数据较吻合，因为SARS刚出现，没有引起人们重视；而以后各月差值先逐渐增大，到6月份后又开始渐渐缩小，这是因为SARS疫情逐渐攀升到六月份达到高峰后渐渐的得到有效控制。人们在这段时期内的出行受到SARS的影响，所以在2月到6月游客量不断的大量减少，但是随着SARS疫情得到控制，以及公共卫生系统的进一步完善，人们生活又渐渐的恢复到SARS前的一般规律，在图形中反映为6月中下旬，随着抗击SARS取得初步成效，游客量开始逐步增加，旅游业也重新回升到常态。但是由于用以预测未知量的已知量较少，我们为了使得预测值真实可信，只考虑预测到11月份，这样做同时还因为时间越长要考虑的不定因素也就越多。从模型及模型分析说明我们所预测的数据是基本合理、符合实际的。

九、参考文献

[1] 姜启源等，数学模型（第三版），北京；高等教育出版社，2003.8

[2] 李海涛等，MATLAB 6.1 基础及应用技巧，北京；国防工业出版社，2002.3 [3] 赵静等，数学建模与数学实验，北京；高等教育出版社，2002.9 [4] 王沫然，MATLAB 5.X与科学计算，北京；清华大学出版社，2000.5 [5] 幺焕民等，数学建模，哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社，2003.4

SARS传播的数学模型

短文

SARS与数学模型

2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，给全球经济的发展以及人们的正常生活等带来了很大的影响，在经过与SARS几个回合的较量之后，我们终于赢了。

当SARS正在慢慢淡出我们身边，我们的工作和生活渐渐回归正常时，那曾经经历的恐惧、困扰、焦虑、无奈和痛苦，那曾深深击中过我们软肋，使我们的弱点暴露无遗的SARS将会成为烙在我们心灵上一块永远抹不去的印。不过，令人欣慰的是我们并没有被击倒，尤其是我们的白衣天使们，他们在与SARS的较量中，充分展现了职业道德和人性的光辉，书写出了最壮丽的人生篇章。

现在这个时刻，我们有必要梳理和总结过去的日子，将我们对SARS、对病毒、对疾病、对危机的认识、责任以及处理方法推向前进。因为我们将不得不面对将有可能和SARS共存相当长时间的现实。在我们还不能完全认识它、战胜它并最终消灭它时，我们必须时刻警觉，将SARS对我们的侵害降低到最小。使得若当它卷土重来时，我们能够聚集起更强大的力量，快速而从容地与它过招。

我们都知道SARS的传播，在没能找到真正的药物治疗方法前，只能依靠政府采取强制性政策去预防、控制疫情。人类对传染病的研究长期以来还都只是通过不断的试验来获取数据，而且相关试验只能在动物身上做，而不可能在活人体上做类似试验，另外有关传染病的数据也只能从爆发后的相关报道与文字材料中获得，不但不能快速得到信息，连其数据的全面性都很难达到。因而，在对传染病流行的控制研究问题上，迫切需要有一种行之有效、简便易行的办法来代替它。而数学模型恰恰是通过采用数学基础工具以及计算机模拟等手段从非医学中的病理分析研究角度去进行科学描述，所以我们可以根据以前总结的一些经验和统计的实际数据，从数学角度建立SARS传染病模型，通过科学、合理的分析和推论，提供足够的可靠数据、信息给政府用以制定相关政策。

这是一项艰巨的任务，不但需要我们的努力，也更需政府和媒体的大力支持。