相似三角形模型分析及运用

第一部分 相似三角形模型分析

一．相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

B

（平行）

B

（不平行）

（二）8字型、反8字型

C

C

B

B（蝴蝶型）

（平行）

（不平行） （三）母子型

B

(双垂型)

（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

二．相似三角形判定的模型变化

旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展

B

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形模型运用

A字型相似三角形 1．如图，已知

B

G

EC

FD

AGAF

，GE//BC．求证:EF//CD．

ABAD

A

A

2、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

求证：△ADE∽△ACB。

E

D

B

C

8字型相似三角形

3.已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H

求证：

PEPH

PFPG

G

D

A

B

H

C

母子型相似三角形

一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ） 4.△ABC中，CD AB于D，① 1 A②，

CDDB

③ B 2 90°④BC∶AC∶AB 3 ，，∶∶，45

ADCD

⑤AC BD AC CD

A．1 B．2 C．3 D．

4

5.如图， 等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F． ⑴试说明△ABD≌△BCE．；

⑵△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由； ⑶BD=AD·DF吗?请说明理由．

F

EC

2

A

B

D

6．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, DEB ABC．

求证：（1）DB DE DA； （2） DCE DAC．

2

D

7.已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：BE EF EG．

2

双垂型

8．如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F． AC AE=AF AB吗？说明理由．

9、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

共享型相似三角形

10、已知，如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E

2

求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD=DE·DF。

11、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120 ，已知BD=1，CE=3，,求△ABC的边长

一线三等角型相似三角形

12.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

A

E

F

B D

C

13.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

C

一线三直角型相似三角形

14、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P

作PE CP，交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

综合型

15、已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．(1) 如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；(2) 除△AEF外，△BEC与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；(3) 请说明BD²=DH﹒DE的理由．

A

P

E

B