动载荷识别的广义域模态模型及其精度分析研究_许锋

第20卷第2期2003年4月

　计算力学学报　

ChineseJournalofComputationalMechanics

Vol.20,No.2April2003

文章编号:1007-4708(2003)02-0218-05

动载荷识别的广义域模态模型及其精度分析研究

许　锋,　陈怀海,　鲍　明

(南京航空航天大学振动工程研究所,江苏南京210016)

摘　要:基于广义域模态模型提出了一种仅用系统响应输出识别动态载荷的方法。以系统中的其它点作激励点来代替常常为不可达的实际载荷作用点,通过辨识得到系统模态参数并在模态和物理两种坐标下对动态载荷作出估算,从而避免通常对系统修改结构或改变边界条件而导致的识别误差。对该模型的误差传播特性与识别精度分析结果表明该方法能适用于工程实际动载荷测量。关键词:载荷识别;模态分析;频率域;误差传播;精度中图分类号:O32;TB122　　　文献标识码:A

1　引　言

因其在设计、控制和系统故障诊断等方面的重要性,人们对工作激励条件下机械系统输入载荷的精确确定历来十分关注。然而由于激励的复杂性及形式上的千差万别,这种动态载荷常常难以测量甚至无法测量,而只能通过载荷识别技术,即利用结构的响应输出与频率响应函数间的关系估测。频域内的载荷识别由于其识别精度上的优势而得到较多的应用,并已发展为直接求逆法和模态模型法两类。前者以频率响应函数矩阵的Moore-Penrose广义逆与所感兴趣的各频率点处的响应的乘积来计算输入载荷,后者则需将频率响应函数矩阵化作参数模型,在模态空间下求解

[1-3]

传播特性及模态参数对其影响作了研究。

2　广义域模态模型法原理

实际中由于往往得不到工程结构的完整模态集,一个线性时不变分布参数系统在频域内的载荷与响应间输入输出关系一般可由有限个感兴趣模态加权求和来近似,即表示为

rr　{x(X)}≈∑{f(X)}

r=1Kr+jCrX-MrX

ˇ

N

m

ˇ

T

(1)

式中{<r}、{<r}分别为响应点与输入点的第r阶截断模态,该二向量的元素分别与拾振及激励位置有关。式(1)以矩阵形式表示则为　　　{x(X)}≈[5][H(X)][5]T{f(X)}

2

2-1

ˇ

。

(2)

载荷识别中的频率响应函数矩阵必须预先知道,人们往往在非工作条件下采用已知载荷对系统

激励,再从相应的响应测量获得。经典的模态模型法基于系统特性的激励点可达的假设,因而当无法在实际输入位置激励来取得系统频率响应函数时通常要修改结构或系统的边界条件。然而,这类修改可能导致系统频率响应函数的改变并给所识别的载荷带入误差。采用一种基于广义域的模态模型,以系统中的其它点作激励点代替工程实际中常常为不可达的实际输入点,可测得这些激励点与实际输入点处的响应,并建立起系统的模态参数,进而求得实际的输入载荷。对于动态载荷识别中不可避免存在着的精度问题,本文就所建立模型的误差

收稿日期:2001-07-06;修改稿收到日期:2001-11-13.

作者简介:许　锋(1964-),男,博士后.

式中[H(X)]为一对角矩阵,经模态质量规一化的

rXrX-X)元素为hr(X)=(Xr+2jF,r=1,2,

…,Nm。引入第r阶模态参与因子向量{Lr},其元素

与所选各载荷作用点Pj处的特征函数向量<r(Pj)成正比,则系统的频率响应函数矩阵可表示为

Nm

　　　[H(X)]=

∑

r=1

rrT

2

X2r+2jFrXrX-X

(3)

　　由于实际载荷作用点常常是未知的或不可人工施加激励的,为避免改变结构或边界条件,可利用其它点对系统进行激励并改在实际载荷作用点

测量响应。设截断模态的最大阶数为Nm,令Pi表示实际状态下的输入点,Po表示所选的响应输出点,Pe表示人工激励点,则可定义它们在空间上形成了一个由Pi、Po和Pe所组成的广义域{Pi∪Po∪Pe}。在Pe处对系统进行激励,并在广义域{Pi∪o}

　第2期

许　锋,等:动载荷识别的广义域模态模型及其精度分析研究

219

一个新频率响应函数集,与此同时也产生了一个新的模态参数集,但该集合中最初求解所需的模态参数可由正交性定理求出。

应用模态模型法需引入系统的先期辨识,以进一步识别输入载荷。该方法对广义域对应的新输入-输出点集计算各阶模态参数Kr,Xr,Fr,r=1,…,Nm,并得到相应的广义域模态向量集{<r}i,o,e和模态参与因子{Lr}e,再由{<r}i,o,e提取子集{<r}e用于计算比例常数Cr,进而计算实际载荷作用点Pi处的模态参与因子{Lr}和所选输出点的模态向量{<r}。

以系统参数辨识得到的所选输出点处模态向量{<r}与测得的实际载荷作用点处模态向量{<r},分别作为模态矩阵[5]与[5]的第r列,通过在模态与物理两种坐标下的求解实现系统的输入载荷识别过程,即

　　(1)由实际输出响应计算模态响应G(X)

{G(X)}=[5]

^

+

^

ˇ

ˇ

fG,r(X)和f

(4)

e^

e

^G,r

(X),由式(5)有

e2

e

e

2

^

{x(X)}

^

　　fG,r(X)=(Xr+2jFrXrX-X)Gr(X)　　f

G,r

2

(X)=(X2r+2jFrXrX-X)Gr(X)

^

(8)(9)

　　(2)由模态响应计算模态激励fG(X)

{fG(X)}=[(X)]

f(X)

{f(X)}=([5]T)+{fG(X)}

^

^

^

^

^

-1

{G(X)}

^

(5)

取二者之差,并忽略各误差二次项,则由特征值误差引起的模态力计算误差可表示为Df

^G,r

　　(3)由模态激励确定系统物理坐标下的激励

(6)

(X)≈[2XrDXr+2j(FrDXr+XrDFr)X]Gr(X)

(10)

^

上述式中“^”表示估算值,上标“+”及“T”分别表示矩阵的Moore-Penrose广义逆及转置。上述基于广义域模态模型的载荷识别算法流程如图1所示。

即由极点误差引起的各阶模态力识别相对误差为

rrG,rrrrr　^≈(11)22

Xr+2jFrXrX-XfG,r(X)

^

3.2　特征向量误差影响

若系统的第r阶特征向量具有某种误差D<r,则含误差的该阶特征向量为

{<er}={<r}+{D<r}

模态矩阵

[5e]=[5]+[D5]

(13)(12)

3　动载荷识别模型精度分析

本文构造的动载荷识别广义域模态模型法包含系统模态参数辨识和输入载荷识别两个环节,因此其误差由前一过程向后一过程传播并形成积累,最终识别结果受到特征值误差、特征向量误差等的

影响。

3.1　特征值误差影响

系统的特征值误差即极点误差,因系统的第r个特征值Kr与其第r阶固有频率Xr及阻尼比Fr有关,设它们分别具有误差DXr、DFr,则带有极点误差的固有频率与阻尼比可表示为

e　　　Xer=Xr+DXr,Fr=Fr+DFr

记[D5]=[0…0　D<r　0…0],由此构成带误差的

分别记含有和不计误差特征向量所对应的模

^

态位移为{Ge(X)}和{G(X)},由式(4)得其二者之差即模态位移误差为

{DG}=-[5e]+[D5]{G(X)}=-[5e]+{D<r}Gr(X)

(14)

3.3　载荷识别误差函数

e

,^

^

^

(7)

220

计算力学学报

^

^

　第20卷　

的载荷识别误差函数为

‖f(X)-f(X)‖2

error(X)=‖f(X)‖2

的影响。

e

^

态力的相对误差对于DfG,k(X)/fG,k(X)频率的变化

(15)

曲线如图3所示。式(5)揭示了矩阵H(X)的逆阵中各元素表征着频域内各阶模态对于识别力的贡献,如图4所示。上述两幅曲线图中的纵轴均取对数坐标轴,不难发现在基于广义域模态模型的动载荷识别过程中,由于极点误差而引起的模态力识别相对误差在相应的各共振频率区内成峰明显,其尖峰随系统阻尼比的增大而削减,在远离各共振频率的其它区域内则该误差值趋于平缓、幅值较小;与

1此相反,以矩阵H(X)的逆阵中各元素h-r(X)表

据此度量极点误差和特征向量误差对于载荷识别

4　数值实验

为验证本文提出的动载荷识别模型,考虑图2所示的均质等截面Bernoulli-Euler悬臂梁。将它均匀离散为10个二节点平面梁单元,每一节点分别具有一平动和一转动自由度。实验采用南京航空航天大学振动工程研究所研制的HEV-02型高能激振器,并在梁的第4,6,8节点上施加正弦载荷。利用有限元法可以解得其固有模态,此外由振动分析可以得到该系统模态参数的解析解。该悬臂梁为铝合金材料制成,其弹性模量为E=7.2×1010N/m2,质量密度为Q=2.7×103kg/m3,长度为l=1m,横截面宽度b=0.06m,高度h=0.02m。设系统满足比例阻尼条件,并取阻尼为Cr=0.08Mr+10-5Kr,可将该系统的模态分析简化为二次特征值问题,从而得到悬臂梁的模态频率、阻尼比[5]如表1所示。由ANSYS系统分析软件得出的有限元分析结果亦见于表1。

在系统辨识环节中以第3,5,7,10点作为人工激励点并在广义域{Pi∪Po∪Pe}内测量响应,并得到系统的频响函数。由上述载荷识别模型可以方便地识别出实际输入点上的载荷。

表1　悬臂梁系统前5阶模态参数Tab.1　Thefirstfivemodalparametersof

acantileversystem

模态阶数

模态频率fr(Hz)

解析法有限元法

r=1

r=2

r=3

r=4

r=5

16.68104.55292.70573.69948.3516.68104.56292.83574.24950.740.10

0.33

0.92

1.81

2.

99

征的频域内各阶模态对系统响应的贡献在相应的各共振频率处最小,并随系统阻尼比的增大而增加,在远离该区域处则贡献明显。

阻尼比Fr(%)

设系统的各特征值具有5%的误差,即Xer=

e

1.05Xr,Fr=1.05Fr,并取系统的前5阶模态为计算

设系统的特征向量具有如下定义的误差项　　　D<i,r=B×Ni×‖<r‖∞,r,,

　第2期

许　锋,等:动载荷识别的广义域模态模型及其精度分析研究

221

趋势。与图3相比,可见模态向量误差比极点误差引起的识别载荷相对误差在数值上有所降低但影响范围扩大。

5　结　语

为了克服实际激励点不可达条件下经典模态模型法通常要修改结构或边界条件,从而可能导致系统频率响应函数改变并使识别载荷产生误差的缺点,本文构造了基于广义域的动载荷识别模态模型。在该模型下,以其它点代替不能施加人工激励的实际载荷作用点进行激励,在这些激励点、响应测量点和实际载荷作用点构成的广义域内测得其响应,由系统的模态参数辨识出发形成相应的算法从而实现实际作用载荷的重构。图7显示了该方法识别的节点6处的动态载荷时间历程,与输入载荷的对比结果表明该方法具有较好的识别精度。

为进一步刻划广义域模态模型的载荷识别精度,本文对一个已知模态参数的系统作了数值实验研究。结果表明该方法对于激励点可达性较差的一般工程结构可以得到较好的识别结果。然而,该模型的误差传播特性及模态参数误差对于载荷识别精度的影响也表明,系统模态参数自身的误差会引起模态向量的误差并在动载荷识别环节中被放大和形成积累,故模态向量误差对模态模型法的全局识别误差影响很大。由于基于模态模型的载荷识别方法需有系统辨识环节,极点误差是不可避免的,因而构造载荷识别模型时在原理方面就应对载荷识别环节考虑避免模态向量误差的导入。例如利用离散模态滤波器原理[6]、基于反模态向量[7]及解耦频响函数

[8-9]

构造的动载荷识别模型可使识别精度

进一步提高。

参考文献(References):

[1]　DesanghereG,SnoeysR.Indirectidentificationof

excitationforcesbymodalcoordinatetransformation[A].Proceedingsofthe3rdIMAC[C],1985,685-690.

[2]　StarkeyJM,MerrillGL.Ontheill-conditionedna-tureofindirectforcemeasurementtechniques[J].InternationalJournalofAnalyticandExperimentalModalAnalysis,1989,4(3):103-108.

[3]　HansenM,StarkeyJM.Onpredictingandimpr-ovingtheconditionofModal-Model-basedindirectA式中B为以百分数表示的混入噪声程度,取其值为1%,Ni为分布在区间[-1,1]上的白噪声随机变量。由式(12)与式(13)可确定系统因模态向量误差引起的模态振型如图5所示。图6则揭示了因模态向

222

计

the8thIMAC[C],1990,115-120.

算力学学报

　第20卷　

[7]　ZhangQ,AllemangRJ,BrownDL.ModalFilter:

ConceptandApplication[A].Proceedingsofthe8th496.IMAC[C],1990.487-[8]　BosseA,LimTW,ShelleyS.Modalfilterandneu-ralnetworksforadaptivevibrationcontrol[J].JournalofVibrationandControl,2000,6:631-648.[9]　KimYR,KimKJ.Indirectinputidentificationby

modalfiltertechnique[J].MechanicalSystemsand910.SignalProcessing,1999,13(6):893-[10]http://ingMATLAB,Version5.2[M].

Natick,MA,USA,1998.

[4]　KarlssonSES.Identificationofexternalstructural

loadsfrommeasuredharmonicresponses[J].Jour-nalofSoundandVibration,1996,196(1):59-74.[5]　胡海岩.机械振动与冲击[M].北京:航空工业出版

社,1998.(HuHaiyan.MechanicalVibrationandShock[M].Beijing:ChinaAviationIndustryPress,1998.(inChinese))

[6]　MeirovitchL,BaruhH.Controlofself-adjoint

distributed-parametersystems[J].JournalofGuid-ance,ControlandDynamics,1982,5(1):60-66.

Studyonthegeneraldomainbasedmodal-modelofforce

identificationanditsaccuracyanalysis

XuFeng,ChenHuaihai,　BaoMing

(ResearchInstituteofVibrationEngineering,NanjingUniversityof

AeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Abstract:Utilizingtheresponseofthesystemonly,ageneraldomainbasedmodal-modelmethodispre-sentedforforceidentification.Beingexcitedattheothersitesinsteadoftheactualinputsitesareusuallynotaccessible,whilethemodalparametersofthesystemcanbeidentifiedandtheinputsareestimatedthroughcalculatingunderbothmodalandphysicalcoordinates,thustheerrorscausedbytheusualmod-ificationtothestructureortheboundaryconditionsareevitablebymeansofthemethod.Ananalysisofthecharacterforerrorpropagationandtheaccuracyoftheidentifiedforceisputforth.Theresultshowsthatthereisagoodconsistencybetweentheactualandtheestimatedinput,andimpliesthemethodissuitabletotheengineeringforcemeasurement.

Keywords:forceidentification;modalanalysis;frequencydomain;errorpropagation;accuracy