2012中考试题汇编分类19_锐角三角函数及解直角三角形

2012年全国各地中考数学解析汇编19

锐角三角函数及解直角三角形

29.1 锐角三角函数以及特殊角

（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A.

1

D.1

2

【解析】sin45°

【答案】B

【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

A．

图4

1

2

B

C

D

【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝

CDAC

图4 【答案】B

【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．

29.2 三角函数的有关计算

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A．200米

B.

C.

D. 1)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanA AB=AD+DB=答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

20

( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=90,AB=6,cosB= ,则BC的长为

3

1313

（A）4 (B)21313

BC2

【解析】由三角函数余弦的定义cosB= ，又∵AB=6∴BC=4,故选A

AB3【答案】

A

【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.

C 8题图

B

A

CDCD

，又CD=100，因此

,tanB

ADDB

CDCD100100

100。 tanAtanBtan300tan450

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）

解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有设BC=x，则DC=1-x，因此

BCDC

，

ACBC

x1 x ,即x2 x 1 0，解方程得，

1x

x1

111

,x2 （不合题意，舍去），即

AD=；

222

AB

又

cosA=

AD

点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。 【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出

于是BF=

+1）x.在直

角三角形ABF中，tan∠

FAB=

BF

+1=tan67.5°.选B。 AB【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE，EF BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ） （A）1组

（B）2组

（C）3组

（D）4组

【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB

求出A、B

两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=

xxDEBD

，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则，

tan∠ACBtan∠ADBEFAB

可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C． 【答案】C．

【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．

（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记作ctan , 即ctan =解下列问题：

（1）ctan30 = ； （2）如图，已知tanA=

角 的邻边AC

，根据上述角的余切定义，

角 的对边BC

3

，其中∠A为锐角，试求ctanA 4

的值．

【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30

（2）由tanA=的值．

【解析】（1）设BC=1, ∵α=30 ∴AB=2

∴由勾股定理得：AC=

。

3

为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 4，

AC

=3 BC3

(2) ∵tanA=

4

ctan30 =

∴设BC=3 AC=4 ∴ctanA=

AC4

= BC3

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。

（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.

（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是________.

【解析】：AE=

1AE3

AB=3.在Rt△ADE中，tan∠ADE==3.所以∠ADE=60°，所以 2ADDE=

AD3

∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E作EG⊥DC于G，则DF=2DG=2 2，

1cos ADE

2

3

=6；（2）过C作CH⊥直线AB于E，那么CH=AD=，由勾股定理D得BH=1。2

2

2

×DE·cos30°=2×2×

所以CD=7。易知△BCE～△EDC，所以BE：CE=CE：CD，所以CE=CD×DC，设BE=x，则CE=7x。在Rt△CEH中，由勾股定理得CE=EH+CH，得（x+1）+3=7x，解之，得x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE的长为5或2。

【答案】：（1）6；（2）2或5

【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．

2

2

2

2

【解析】 要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可． 【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则

，易得：

PM=x，则

-x，PN112

PNDN2222

， 由△DNP∽△BMP，，

即∴

PN=x，由DN+PN=PD，+x=(-x)，

52x105PMBMBM

=2． 解得：x1

=，x2

（舍去），∴tan∠

APD=

4PM4

【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础，还要注意网格中线段的长度

都可以在直角三角形中去解决．

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A．200米

B.

C.

D. 1)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanA AB=AD+DB=答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）

CDCD

，又CD=100，因此

,tanB

ADDB

CDCD100100

100。 tanAtanBtan300tan450

解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有设BC=x，则DC=1-x，因此

BCDC

，

ACBC

x1 x ,即x2 x 1 0，解方程得，

1x

x1

111

,x2 （不合题意，舍去），即

AD=；

222

AB

又

cosA=

AD

答案：

11

, 24

点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2011山东省潍坊市，题号9，分值3）9、轮船从B处以每小时50海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里 A． 25 B． 252 C． 50 D．

25

考点：方位角和等腰三角形的判定

解答：根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25海里； 根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°； CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；

∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里，本题正确答案是D

点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。

（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为

A．

1.6)m C．

1.6)m

B．

1.6)m D．

C

A O E B

【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝

C

AF

＝

CD＝CF＋FD＝

1.6)m． tan60

图5

D

A O E

B 【答案】A

【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力，能将对应线段和角之间的关系理清．

（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.

（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是________. 【解析】：AE=

D

1AE3

AB=3.在Rt△ADE中，tan∠ADE==3.所以∠ADE=60°，所以

2ADDE=

AD3 2，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E作EG⊥DC于G，则DF=2DG=21cos ADE

2

3

=6；（2） 2

×DE·cos30°=2×2×

【答案】：（1）6；（2）2或5

【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

（2012安徽，19，10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长，

CB

第19题图

30°A

解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边.不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C作CD⊥AB于D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2 ∴CD=AC×sinA=23×0.5=，

AD=AC×cosA=23×

3

=3， 2

在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=3， ∴AB=AD+BD=3+3

点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件.

（2012湖南娄底，20，7分）如图9，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG 30 ，在E处测得∠AFG 60 ，CE 8米，仪器高度CD 1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）.

A

C

60 G B

【解析】在Rt△ADG中，可设AG=x，利用已知角的三角函数可用x表示出DG的长，在Rt△AFG中，根据∠AFG的正切函数可用x表示出FG的长，因为DG-FG=DF，所以可列方程求出x的长，AG再加上仪器的高

度即为大树的高．

【答案】解：设AG=xm，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴

xm；

在Rt△AED中，∠AFG=60°，AG=x，

∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4. 答：大树AB的高约为8.4米．

x，∵DG-FG=DF,DF=CE=8

x=8,解得

6.93, 【点评】本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．

(2012重庆，20，6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）

解析：由△ABC是直角三角形和△ABD是等边三角形，可求出∠C=30°,利用三角函数可求出答案。 答案：解：∵△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=∴BC=

AB

BC

ABAC

=4, ∵cosC= ∴AC=BC·cosC=2 ∴△ABC的周长是6+2 sinCBC

点评：在直角三角形中计算线段长度问题，通常利用勾股定理和三角函数来解决，本题也可由勾股定理来计算AC的长。

（2012浙江省温州市，21，9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l（如图）。救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号。他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C处入海，径直向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去。若CD=40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到达B处？请说明理由。（参考数据：sin55 0.82,cos55 0.57,tan55 1.43）

【解析】根据特殊角的三角函数值,利用直角三角形的边角关系,利用直角三角形的边CD建立等式

.

【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°， ∴tan BCD

BD

， CD

∴BD CD tan BCD=40 tan55 57.2（米）

CD40

= 70.2（米）

cos BCDcos5557.270.2

∴t甲 ，t乙 35.1(秒） 10 38.6(秒）

22

∴BC

∴t甲 t乙．答：乙先到达B处．

【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题．重点考查学生是否认真审题，挖掘出题目中的隐含条件，运用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．

（2011山东省潍坊市，题号20，分值10）20、(本题满分10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边

选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD =60°

(1)求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3 1.73，2 1.41）；

(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由

.

考点：直角三角形的边角关系

解答：（1）由题意得 ，在RT△ADC中， AD=

CD21

213 36.33，

tan30 3

在RT△BDC中，BD

CD21

7 12.11

tan60 3

所以AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）

（2）汽车从A到B用时2秒，所以速度为24.2÷2=12.1（米/秒） 因为12.1×3600=43560, 所以该车速度为43.56千米/小时

大于40千米/小时，所以此校车在AB段超速.

点评：本题考察了直角三角形的边角关系，已知一边和一锐角解直角三角形。在解决此类问题时，要找到所解的直角三角形，分析其中已知的边和角，分析类型，选择方法求解。

（湖南株洲市3,13）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度。小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是 米。

【解析】设旗杆的高度为x米，由题意，得tan60 【答案】x

，解之得：

x=

10

【点评】在直角三角形，已知一角与一个角可以利用直角三角形的边角关系来求线段的长.

（2012四川攀枝花，19，6分）（6分）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船

C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

【解析】解直角三角形的应用-方向角问题．

【答案】作CD⊥AB于D，设BD=x，∵∠BCD=30°，∴CD

，因为∠CAD=45°，∴AD=CD

，AB

–x，

–x=0.5，x

=

11

，答：再航行小时，离渔船C的距离最近。

44

【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关键是用小时来表示AB间的距离。

（2012江西，22，9分）小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆

AB、CD相交于点O， B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣

架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm．

(1)求证：AC∥BD；

(2)求扣链EF与立杆AB的夹角 OEF的度数（精确到0.1°）；

(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由．

（参考数据：sin61.9 0.882,cos61.9 0.471,tan28.1 0.533，可使用科学计算器）

图1 图2

解析：（1）利用等腰三角形的性质或三角形相似，可得AC∥BD；

（2）过点O作OG⊥EF交EF于G，构造直角三角形，利用三角函数可求得∠OEF的度数； （3）利用三角形相似或三角函数可求解。 答案：解：（1）证法一：

∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD，

1

∵OA=OC，∴∠ OAC=∠OCA=（180°-∠AOC），

21

同理可证：∠ OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），

2

∴∠ OAC=∠OBD， ∴AC∥BD． 证法二：

∵AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm， ∴OB=OD=85 cm，

OAOC3

； OBOD5

又∵∠AOC=∠BOD，

∴ △AOC∽△BOD，∴∠ OAC=∠OBD， ∴AC∥BD．

（2）在△OEF 中，OE＝OF＝34cm ，EF =32cm；

作OM⊥EF于点M，则EM=16cm； ∴cos OEF

EM16

0.471， OE34

用科学计算器求得∠OEF=61.9°；

（3）解法一：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面．

在Rt△OEM

中，∴OM 30cm； 同（1）可证： EF∥BD ，∴∠ABD=∠OEF， 过点A作AH⊥BD于点H，则Rt△OEM∽Rt△ABH， ∴

OEOMOM AB30 136

，AH 120cm．

ABAHOE34

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm＞晒衣架高度AH=120cm． 解法二：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面． 同（1）可证： EF∥BD ，∴∠ABD=∠OEF=61.9°， 过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中， ∵sin ABD

AH

， AB

∴AH AB sin ABD 136 sin61.9 136 0.882 120.0cm； ∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm＞晒衣架高度AH=120cm．

点评：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活。背景情境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质或三角形相似、锐角三角函数等。题目设置由易到难，体现了对数学建模思想的考察，以及由理论到实践的原则，比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力。题目平实、新颖、综合性强。

（2012湖北黄石，22，8分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为1，且在水平线上的的射影AF为1．4m．现已测量出屋顶斜面与