(新)高数第二章导数与微分知识点与习题

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 高数第二章导数与微分知识点总结

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

0000000000

()()()()

()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy

df x y f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

0'000000

()()()()

()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-.

0'000000

()()()()

()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-.

0'()f x 存在'

'

00()()f x f x -+⇔=.

（3）导数的几何应用

曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：000

1

()()'()y f x x x f x -=--.

2．基本公式

（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=

（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1

(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-

（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =-

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 2 （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-

（11

）(arcsin )'x = （12

）(arccos )'x =

（13）21(arctan )'1x x =+ （14）2

1(arccot )'1x x =-+ （

15[ln(x +=

3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v

-= （2）复合函数求导法则--链式法则

设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.

例5 求函数21

sin x y e =的导数.

（3）反函数的求导法则

设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则

11'()'()'(())

g y f x f g y ==. （4）隐函数求导

设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y

F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.

常用的高阶求导公式：

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 3 （1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =

（2） ()(sin )

sin()2n n kx k kx n π=+ （3）()(cos )cos()2

n n kx k kx n π=+ （4）()1(1)(1)

n n n n x x --+=-+ （5）()()(1)(2)

(1)k n k n x k k k k n x -=---+

（6）莱布尼茨公式：()()()0

()n n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v ==

第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.

定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.

注：,y dy x dx ∆≠∆=

2．可导与可微的关系

一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =.

3．微分的几何意义

4．微分的计算

（1）基本微分公式'()dy f x dx =.

（2）微分运算法则

②四则运算法则

()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2

()u vdu udv d v v -=

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 4 ②一阶微分形式不变

若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；

若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.

练习题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）x x

y sin =； （3）bx e y ax sin =；

（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x

x x y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dx y

d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin x x

y -=。

6、求双曲线12222=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧

=,0,1sin )(2x

x x f .0,

0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

答案：

1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y

]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x

x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=

)37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x x

x x x x y -

='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='='

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 5 )cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][

1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y

])(211[1

222222'+++++=a x a x a x x

]221

1[12222x a x a x x ⋅++++=

]1[12222a x x

a x x ++++=221a x +=。

（5）解：)1

1()

11(11

)11(arctan 2'-+-++=

'-+='x x x x x x y

11

)1()1()1()1(2)1(2222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。

（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x x

x x e x x y

]1ln )1()1()

1([)1(2x x x x

x x x x x x x +-+-+⋅+

+=

)1ln 11

()1(x x

x x x

x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得

0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y

)sin(sin )

sin(cos y x x y x x y y ++++-='。

（2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y

原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ，

上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y

将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，

将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 6 3、解：),cos 1(t a dt dx -=t a dt

dy sin =； 2

cot )cos 1(sin t t a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc 41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx

dt dx dy dt d dx y d -=-⋅-=⋅=。 4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……

依此类推

)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。 （2）解：设,,2sin 2x v x u

== 则)50,,2,1)(22sin(2)( =⋅+=k k x u k k π

， ),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k

代入萊布尼茨公式，得

2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)

50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+==ππ

πx x x x x x x y )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x +

+-=。 5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.

（2）解：]122arcsin 111[112222x x x x x x y --⋅----='

23

22)1(arcsin 1x x

x x -+-=；

='=dx y dy dx x x

x x 23

22)1(arcsin 1-+-。

6、解：首先把点)3,2(b a 代入方程左边得1343422

222222=-=-=-b

b a a b y a x ，即点)3,2(b a 是切点。 对双曲线用隐函数求导得,,0222222y

a x

b y b y y a x ='⇒='- 过点)3,2(b a 的切线的斜率为,3232)3,2(22

a b b a ab b a y ==' 故过点)3,2(b a 的切线方程为)2(323a x a b

b y -=-；

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 7 过点)3,2(b a 的法线方程为)2(233a x b

a b y --=-。 7、解：,01sin 1sin 0)0()()0(lim lim lim 0200===--='+

++→→→+x x x x x x f x f f x x x 同理

0)0(='-f ；故0)0(='f 。 显然x

x x x x x x x x f 1cos 1sin 211cos 1sin

2)(22-=⋅-='在0≠x 点连续，因此只需考查)(x f '在0=x 点的连续性即可。但已知x 1cos 在0=x 点不连续，由连续函数的四则运算性质知)(x f '在0=x 点不连续。

讨论习题：

1、 设,)3()(-=x x x x f 求)(x f '。

2、

求和n n x n x x x S 2322232++++= 。 3、

设函数)(x f 在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 证明)0(f '存在，且1)0(='f 。

讨论习题参考答案：

1、解：因为⎪⎩

⎪⎨⎧---=),3(),3(),3()(222x x x x x x x f .0,30,3<<≤≥x x x

易知)(x f 在开区间),3()3,0()0,(+∞⋃⋃-∞内都是可导的；又

对于分段点0=x ，3=x ，有

00)3(0)0()()0(200lim lim =--=--='+

+→→+x x x x f x f f x x ， 00)3(0)0()()0(200lim lim =--=--='--

→→-x x x x f x f f x x ，即0)0(='f ；

930)3()3(2323lim lim ==---='+

+→→+x x x x f x x ， 9)(30)3()3(2323lim lim -=-=---='-

-→→-x x x x f x x ，即)3(f '不存在； 所以除3=x 之外)(x f 在区间),3()3,(+∞⋃-∞內均可导，且有

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 8 ⎪⎩⎪⎨⎧--=',36,0,63)(22x x x x x f ).

3,0(,0),

,3()0,(∈=+∞⋃-∞∈x x x

2、解：因为x x x x x n n --=+++++1111

2 ，

21

2)1()1(1)1(x nx x n x x x n n n -++-='++++⇒+ ，

21

12)1()1(1321x nx x n nx x x n n n -++-=++++⇒+- ；

]

1)1()122([)1(])1()1([})1()1(1[])321([)32()

321(3221222322

121

123212132223222--++-+--='

-++-='

-++-⋅='++++='

++++=++++=++++=⇒+++++---x x n x n n x n x x

x nx x n x x x nx x n x x nx x x x x nx x x x x x n x x x x n x x x S n n n n n n n n n n n

n

3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 可知当0=x 时，0)0(0≤≤f ， 即0)0(=f 。又

)0,11(,0)

0()()(3≠≤≤-+≤--=≤x x x x

x x f x

f x x f x x ； 已知13

00lim lim =+=→→x

x x x x x x ，由两边夹定理可得

10)

0()()0(lim 0=--='→x f x f f x 。

思考题：

1、 若)(u f 在0u 不可导，)(x g u =在0x 可导，且)(00x g u =，则 )]([x g f 在0x 处（ ）

（1） 必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。

2、 设)(x g '连续，且)()()(2x g a x x f -=，求)(a f ''。

思考题参考答案：

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 9 1、 解：正确选择是（3） 例如：u u f =)(在0=u 处不可导；

若取x x g u sin )(==在0=x 处可导，则x x g f sin )]([=在0=x 处不可导；即（1）不正确。又若取

4)(x x g u ==在0=x 处可导，则有44)]([x x x g f ==在0=x 处可导。 即（2）也不正确。

2、 解：因为)(x g 可导，所以)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-='

又因为)(x g ''不一定存在，故用定义求)(a f ''，

)

(2)]

()()(2[)

()

0)(()

()()(lim lim lim a g x g a x x g a x x f a f a x a f x f a f a

x a x a x ='-+=-'=='-'-'=''→→→

第三组：潘柏华 王涛 罗宇生 陈珂晔 黄强