增城市高中数学选修导数及其应用检测题

增城市高中数学选修导数及其应用检测题

增城市高中数学选修《导数及其应用》检测题

（考试时间：100分钟，满分100分） 命题人：增城中学 邓城 2007.4.2

学校： 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一、选择题（每题4分，共32分） 1.满足f(x)＝f ′(x)的函数是 A f(x)＝1－x

B f(x)＝x

C f(x)＝0

D f(x)＝1

（ ） （ ）

2.曲线y=4x x3在点（－1，－3）处的切线方程是 A y=7x 4

B y=7x 2

C y=x 4 D y=x 2

3．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0

=( )

A f ′(x0) B 2f ′(x0) C －2f ′(x0) D 0

3

4．函数f(x)＝x－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A 1，－1

B 3，-17

C 1，－17 D 9，－19

（ ）

5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则 ( ) A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数

6.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 （ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

）

A

B

C

D

8．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，

且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是

（ ）

A (－3，0)∪(3，+∞) B (－3，0)∪(0，3) C (－∞，－3)∪(3，+∞) D (－∞，－3)∪(0，3) 二.填空题（每题4分，共24分） 9.某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+

为 .

3t

( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度

1

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10.过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________．

11函数f(x)=2x3 6x2 m(m为常数） 在[ 2，那么此函数在[ 2，2]上有最大值3，2]上的最小值为 12.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 13.（理）求由曲线y=cosx，x=0,x=2 ,y=0所围成的图形面积为 . （文）设函数f

x =cos

0 。若f x f

1

f(n)

/

x 是奇函数，则

=__________。

14.设函数f(x)=xm ax的导数为f/(x)=2x 1，则数列 . 三．解答题（共44分）

(n N

)的前n项和是

15（本小题满分10分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的

切线与直线2x+y=0平行． ⑴求f(x)的解析式；

⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间.

16（本小题满分10分）

已知f(x)=x+ax+bx+c,在x＝1与x＝－2时，都取得极值。 ⑴求a，b的值； ⑵若x [－3，2]都有f(x)>

1c 12

3

2

恒成立，求c的取值范围。

17(本小题满分12分) 已知a为实数，f(x)=(x2 4)(x a)。

⑴求导数f¢(x)；

⑵若f¢( 1)=0，求f(x)在[－2，2] 上的最大值和最小值； ⑶若f(x)在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围。

18(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函数f(x)的单调递减区间； ⑵若x 1，证明：1

1x 1

ln(x 1) x．

2

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附参考答案：

一、选择题：1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 二、填空题：9.

125400016

10. 2x－y+4=0 11. 37 12.

27

cm2

13. （理）4 （文）

6

14.

n 1

三、解答题：

15. 解：⑴设f(x)=ax2

+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b． f¢(1)=0,

2a b=0, a=1, 由题设可得：

f¢(0)= 2,即 b= 2,解得

b= 2,

f(0)= 3, c= 3.

c= 3.所以f(x)=x2

-2x-3．

⑵g(x)=f(x2

4－2x2－3，g ¢(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：

由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． 16. 解：a＝3712

，b＝－6. 由f(x)min＝－

2

+c>

1c

-

2

得

3 2

c 0或c

3

2

17. 解：⑴由原式得f(x)=x3 ax2 4x 4a,∴f¢(x)=3x2 2ax 4. ⑵由f¢( 1)=0 得a=12

2

,此时有f(x)=(x 4)(x

12

),f¢(x)=3x2

x 4.

由f¢( 1)=0得x=

43或x=-1 , 又f(4)=

503

27,f( 1)=92

,f( 2)=0,f(2)=0,

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为9

502

,最小值为

27

.

⑶解法一:f¢(x)=3x2

2ax 4的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

f¢( 2) 0,f¢(2) 0, 即

4a 8 0

8 4a 0

∴－2≤a≤2.

所以a的取值范围为[－2,2].

解法二:令f¢(x)=0即3x2

2ax 4=0, 由求根公式得: xa 1,2=

3

x1 x2) 所以f¢(x)=3x2

2ax 4.在 ,x1 和 x2, 上非负.

3

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由题意可知,当x≤-2或x≥2时, f¢(x)≥0, 从而x1≥-2, x2≤2,

即

aa22

12 a 6 解不等式组得－2≤a≤2. 12 6 a.

∴a的取值范围是[－2,2]. 18.

解：⑴函数f(x)的定义域为( 1, )．f¢(x)＝

1x－1＝－。由f¢(x)<0及x>－1，得x>0．∴

x 1

x 1

当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，f¢(x)＞0，当x∈（0，＋∞）时，f¢(x)＜0， 因此，当x 1时，f(x)≤f(0)，即ln(x 1) x≤0∴ ln(x 1) x． 令g(x)=ln(x 1)

1x 1

1，则g¢(x)=

1

x 1

1

(x 1)2

＝

x

(x 1)

2

．

∴ 当x∈（－1，0）时，g¢(x)＜0，当x∈（0，＋∞）时，g¢(x)＞0．

∴ 当x 1时，g(x)≥g(0)，即 ln(x 1) 1x 1

1≥0，∴ ln(x 1) 1

1x 1

．

综上可知，当x 1时，有1

1x 1

ln(x 1) x．

4