二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用

贵州师范大学学报(自然科学版)第21卷第2期Vol.21.No.2

2003年5月May2003JournalofGuizhouNormalUniversity(NaturalSciences)

文章编号:1004—5570(2003)02-0022-03

二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用

马晓玲,熊志坚,李　莉

(昆明理工大学机电工程学院,云南昆明　650031)

Ξ

摘要:设计二阶系统时,在允许系统有适度的振荡情况下,,下工作(通常取ζ=0.4～0.8)。3种不同状态下(ζ<1,ζ=1,ζ>1),,本文对临界阻尼和过阻尼情况做了深入的理论分析,,2种情况的调整时间ts的理论公式。关键

词:;;瞬态响应

中图分类号:TB12文献标识码:A

Analysisandapplicationofperformanceindexfortransientresponse

ofsecond—ordersystem

MAXiao2ling,XIONGZhi2jian,LILi

(DepartmentofMachineandElectronics,

KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming,Yunnan650031,China)

Abstract:Whendesignasecond-ordersystem,inordertogetashortertransitionalstage(if

moderateoscillationisallowedforthesystem),weusuallymakethesystemworkunderthecircum2

ζ=014～018).Butinthesystemdesignandexperiment,instancesofunderdampedcondition(

rodertomakestudentsdirectlyperceiveandthoroughlyunderstandthecircumstancesofthreediffer2

ζ<1ζ,=1ζ,>1),deep-goingtheoryanalysisismadeonthecir2entkindsofsystemconditions(

cumstancesofcriticallydampedandoverdampedconditionsinthispaper.Inaddition,twotheoryformulasofthesettlingtimeontheabovetwodifferentconditionsareobtained1Keywords:dampingratio;overshoot;second-ordersystem;transientresponse

0　引言

瞬态响应是指系统在某一输人信号作用下,系

统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。因为实际的物理系统总是包含一些储能元件,所以当输人信号作用于系统时,系统的输出量不能

立刻跟随输入量变化,而是在系统达到稳态之前,表现为瞬态响应过程。对于一般稳定的控制系统来说,瞬态响应有4种形式:(1)振荡过程,(2)微振过程,(3)无超调量过程,(4)单调过程。如图1所示:

一个系统能用二阶微分方程来描述,则称它为二阶系统。从物理上来讲,二阶系统总包含有2个

Ξ

收稿日期:2002-10-08

作者简介:马晓玲,女,高级实验师,研究方向:测试与控制。

22

　第2期　　　　　　　　马晓玲,熊志坚,李　莉:二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用　　　　　　　　　　　

2

ζ2中,以Wd为振荡频率的衰减振荡曲线。此

曲线有5个指标,本文只讨论其中3个指标:Mp———超调量,ts———调整时间〔在响应曲线的稳态值线上,用稳态值的百分数作为一个允许误差范围(本文取2%),响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间〕,tp———峰值时间。

对式(3)求导,并令之为零所求出的t便是tp:π

(4)tp=

Wd

图1　稳定控制系统的瞬态响应形式

储能原件,如电感、电容等。

二阶系统的闭环传递函数为:

==R(S)1+G(S)TKKS+S+

TmTm

2

t=p2(/

)Wd

p=C(tp)21=

(5)

而ts≈ζ

(1)

Wn

(6)

=

=

在实验中有图

2所示的模拟二阶系统,当R=10K时,系统为欠阻尼状态,其闭环传递函数为2

2

S2+10s+10

S+2ζWnS+W

2

n

Kv———开环系统增益,Wn=

———无阻Tm

尼固有频率

ζ=函数

C(S)———系统输出,R(S)———系统输入

ζ=0.5,Wn=10,用式(4),(5),(6)可分别算出∴

tp=0136s,Mp=1613%,ts=018s。

2WnTm

———阻尼比,G(S)———开环传递

从式(1)中可看出,此二阶系统的动态特性完

全可用ζ和Wn这两个特征加以描述。

现分别讨论在单位阶跃函数作用下,不同阻尼比ζ值的阶跃响应。当输入为阶跃函数时有输出为:

C(S)=

2

SS2+2ζWnS+Wn

22

图2　欠阻尼状态的模拟二阶系统

=

(2)

2　临界阻尼情况(ζ=1)

2

此时Wd=Wn21=0

22

S(S+ζWn+Wn21)(S+ζWn+Wn21)

1　欠阻尼情况(0<ζ<1)

Wd=Wn

所以

2

C(S)=

2

2

2

S(S+2ζWn+Wn)

=

(7)

1=jWn

2

ζ—2——阻尼自然

2

2

频率

对式(2)用反拉氏变换分解定理分解后,再反拉氏变换得:

C(t)=12

S(S+Wn)

对式(7)利用拉普拉斯反变换中有重根的部分分式展开式,再进行拉氏反变换得:

2Wt2Wt2Wt

(8)C(t)=12Wnten2en=12en(1+Wnt)

对于ζ=1,响应曲线是无超调的过程,所以无需求tp,Mp,所关心的是ts,我们知道要使输出为稳态值的98%,就有下列等式:

23

2Wnt

ζ

ζWnt

此响应曲线是一条夹在包络线1±e2/

ζ2

2

sin(Wdt+arctan

2

ζ

)(3)

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12e2Wnts(1+Wnts)=0198

(9)

对式(9)这一方程求解,我们得到精确的求ts(ζ=1)的公式,对图2这样的系统,当ζ=1时(即

R=40K)传递函数是:2

S+10S+25

利用求ts的公式得:ts=1.167s。实际上对于任意一个线性的二阶系统,我们的求解ts的公式都适应,并十分精确,无误差。

2(ζ+

21)Wnt

2

222(ζ+ζ2121)

(12)

由式(12)可得求解ts的方程:1+0198

2

(ζ2

21)Wnts

2

22

ζ2(ζ2121)

+

2

(ζ+

21)Wnts

2

22

2(ζ+ζ121)

=

此方程后一项随ts变化衰减很快,所以起主导作用的项为:1+

2(ζ2

21)Wnts

2

3　过阻尼情况(ζ>1)

此时有系统输出为:C(S)==

S(S+ζWn+Wn

2

22(ζ21)

以我方程:1

(21)nts

2

+

22

2(2(2121)

0198

+2SS+ζWn+W1S+ζWn2Wn21

(10)

的近似解为:1<ζ≤111　　ts≈

2

(ζ21)Wn

式(10)中a1,a2,a3为待定系数。如令:S1=S+ζWn+Wn

2

ζWn2Wn1

2

(2ζ)

则C(S)=+

SS1S2

22

(ζ(ζ+

SS1S2SS1S2

2

21,S2=S+

111<ζ≤2　　ts≈2<ζ　　ts≈

2

(ζ221)Wn

2

(ζ221)Wn

其中A、B、C为我们所求得的常数,用此组公

式求解ts时,误差比过去小得多。对于图2所示系统,若R=100K时,系统传递函数为’,此时用公式求得ts=31549s。S+10S+10

2

=

SS1S2

22

(a1S2+a12ζWn+a1Wn+a2S+

2

21S+a3S2+a3ζWnS+a3Wn

a2ζWnS2a2Wn

2

21S)

4　结束语

系统瞬态响应性能指标对系统的评价起着重

要的作用,而性能指标的理论计算公式对评价实验的准确性和精确度也起着十分重要的作用。此外,在设计系统时,理论计算也是一个设计系统的重要依据。

(11)

根据式(11)可得下列方程组:

a1=1

a1+a2+a3=0

22

ζζ2a1ζWn+a2Wn2a2Wn21+a3Wn+a3Wn21=0

解此方程组得:

a1=1

a2=a3=

参考文献:

[1]杨叔子,杨克冲,等.机械工程控制基础[M].武汉:华

2

2(ζ+ζ2121)

2

22ζ2(ζ22121)

中科技大学出版社,20021

[2]ChienKN,YangGP,WangX,YangHH.Asystem

ApproachtotheDynamicCharaceristicsofHydrostaticBearingsUsedonMachineTools[M]1lnt.MTDR,1981:20v

所以系统的时域输出为:

C(t)=1+

2(ζ2

21)Wnt

2

22

ζ2(ζ22121)

+

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