人教版八年级下册数学菱形

复习回顾矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，也就是长方形。

矩形的性质：矩形的对边平行且相等； 矩形的对角相等且四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分且相等；

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半。

矩形的判定：定义； 对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形。

观察下列图形有什么共同点？由下列图形 你想到什么几何图形？

这些图形都给我们以菱形的形象，你 还能举出什么实例？

你有什么 发现？

菱形的定义菱形还有什么 特殊的性质？

有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形. 菱形是特殊的平行四边形，所以它 具有平行四边形的一切性质。

探究将一个矩形的纸对折两次，沿图中 虚线剪下，再打开，就得到一个菱形。

观察得到的菱形, 它的轴对称图形吗？ 有几条对称轴？对称 轴之间有什么位置关 系？你能看出图中哪 些线段或角相等？

梳理菱形是轴对称图形，它的对角线就 是它的对称轴。 可以发现菱形具有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角。

你能证明 它们吗？

几何语言描述菱形的性质：∵四边形ABCD是菱形， O ∴AD∥BC,AB∥CD, A C AB=BC=CD=DA, B OA=OC,OB=OD, AC⊥BD, 1 ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA= ∠DAB 2 1 = ∠DCB 2 1 ∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD= ∠ADC1 = ∠ABC 22D

比较 由菱形的性质可知，菱形的对角线把菱形分成了四个全等的小直角三 角形，而一般平行四边形只被分成了全 等的两对三角形，一对是锐角三角形， 一对是钝角三角形。D5 6

A3 4

D O C

A

1 2

O 7 8

C

B

B

菱形ABCD中，对 角线AC、BD交于点O, AC=6cm,BD=8cm,你 A 能求出菱形ABCD的面 积吗？

D5 6 1 2 O 7 8 3 4

C

B

分析：菱形的对角线把菱形分成了 四个全等的直角三角形，则求菱形的面 积，只需求出其中一个直角三角形的面 积即可.

探究

D5 6

S菱形ABCD 4SRt DOC

A

1 2

1 4 DO O C B 2 1 1 1 4 BD AC 2 2 2 BD AC 2

O 7 8

3 4

C

归纳菱形的面积等于两对角线乘积的一半。D5 6

A

1 2

O 7 8

3 4

C

B

S菱形ABCD

BD AC 2

例题讲解如图，菱形花坛ABCD的边长为20m, ∠ABC=600,沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD,求两条小路的长和 花坛的面积(分别精确到0.01m和0.01㎡).O

分析：只要求出OA、 OB即可，故需要构建直 角三角形。

解： ∵花坛ABCD是菱形，1 1 1 ABO ABC ABC 60 30 2 2 2 1 1 在Rt O AB 中 ，AO AB 20 10 2 2 2 2 2 2 BO AB AO 20 10 17.32

∴AC⊥BD

O

∴花坛的两条小

路长为: AC=2AO=20(m), BD=2BO≈34.64(m) 花坛的面积为: 1 2 S菱 形ABCD 4 S OAB AC BD 346.( 4 m) 2