2.3 线性代数的有关概念和定理

《计算方法》课件 李桂成

2.3 线性代数的有关概念和定理2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 线性相关和线性无关 方阵及其初等变换 方程组解的存在的惟一性 特殊矩阵 方阵的逆及其运算性质 矩阵的特征值及其若干运算性质 主子阵和主子式 对称正定矩阵 对角占优矩阵 向量和连续函数的内积 向量 矩阵和连续函数的范数电子工业出版社 1

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2.3.1 线性相关和线性无关定义2.3.1 (线性空间) 给定一个非空

集合 V ,和一个数域 P ,对 V 中的元素定义两种代数运算：加法和数量乘法(统称 为线性运算),若集合 V 对定义的线性运

算是封闭的(即 , V , 有 V 以及 a V , k P有k V )《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 2

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且线性运算对 , , V , k , l P 还具有如下八条

特性：加法运算满足：

(1)交换律： (2)结合律： ( ) ( ) (3)有零元素 0 V,使

0

(4)对每个元素 有负元素( ) ,使得

( ) 0 。《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 3

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数乘运算满足：(5) 有单位元素 1 P,使 1 。

(6) k (lx ) (kl) x(7) k ( ) k k (8)(k l ) k l 则称具有线性运算的集合 V为数域 P 上的线性 空间。《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 4

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在实数域 R上定义的线性空间称为实线性空

间，在复数域C上的空间称为复线性空间。定义2.3.2(线性子空间) 设集合 V 是数域U P 上的线性空间， 是 V上的一个非空子集，如 果 U 对线性运算(加法和数乘)是封闭的，即

对 , U , k , l P 有 k l U ,则具有线性 运算的集合U 是数域 P 上的线性空间，称 U 为

V 上的一个线性子空间。《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 5

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定义2.3.3(线性相关性)设集合 V 是数域 P

上的线性空间， 1, 2 , , n V n

。如果存在 不

全为零的数 k1 , k 2 , , k n P ,使得：k1 1 k2 2 k3 3 kn n ki i 0

则称 1, 2 , , n 是线性相关，否则，对于 1, 2 , , n 若满足： k k k k 0 1 1 2 2 3 3 n n 可以推出 ： k1 k2 kn 0

i 1

则称 1, 2 , , n 是线性无关的。《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 6

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向量组的线性相关性有如下重要结论：

(1)若向量组 1, 2 , , n (n 2) 中有一个向量可以由其他的向量线性推出，那么 1, 2 , , n

必线性相关。(2)向量组的部分线

性相关性，则整个向量组 必线性相关。 (3)线性无关的向量组，则它的部分组也线性 相关。《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 7

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(4)任意 n 1个

n 维向量必然线性相关。

定义2.3.4 (基，维数与向量的坐标) 如果向量空间 V 中有n个线性无关的向量 组 1, 2 , , n ,并且 V 中的任意向量 都可以 由向量组 1, 2 , , n 线性表示出： k1 1 k2 2 k3 3 kn n(2.3.1)

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则称向量组 1, 2 , , n 为向量空间 V 的一个基，

基中所有元素的个数 n 称为 V 的维数，并称 V为 n 维线性空间。称(2.3.1)式中的

n 个数

k1 , k 2 , , k n 为向量 在 1, 2 , , n 下的坐标，记为 (k1 , k 2 , , k n ) 。有

生成的线性空间，用 V Span 1, 2 , , n 表示。

n个线性无关的向量组 1, 2 , , n

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2.3.2 方阵及其初等变换定义2.3.5 设 m, n为两个自然基， 是一个 P

数域，有 P 上的 m n个数排成m行,n列的阵列： a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A am 2 amn 上 am1 矩阵，如果数域为实数，则称

称为

P m n 为实矩阵，记为

,其中

称为该a ij10

A (aij ) m n《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社

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矩阵的第 i 行，第 j列的元素。当 m n时，矩

阵 A (aij ) m n 称为 n 阶方阵，称元素 a11 , a22 , , ann所在的对角线为 A 的主对角线。 定义2.3.6 对于 n 阶方阵 A (aij ) m n ,它的 行列式记为 det( A) 或

a11 a12 a 21 a 22a m1

...

... a1n ... a2n ... amn电子工业出版社 11

am2

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定义为：

det( A)

( j1 , j2 , , jn )

( 1)

( j1 , j2 , , jn )

(2.3.2)1 2 n

n级行列求和，即 ( j , j , , j ) 要取遍所有 n 级排列(共 n!个),( j1 , j2 , , jn ) 为 ( j1 , j2 , , jn ) 逆序排列数。(2.3.2)的右端称 为det( A) 的展开式。 将 det( A)中元素a ij 所在的第《计算方法》李桂成 编著

其中的 ∑是对所有

i 行，第 j 列的元12

素的去掉后，留下来的元素按原来次序所组电子工业出版社

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成的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记

为 M ij

Aij ( 1) i j M ij为元素 ，而称

a ij的代数余

子式。

也等于它的任一行(列) N 阶行列式 det( A) 各元素与它的对应的代数余子式乘积之和。即对于任何i, j (i, j 1,2,3, , n) 有：

det( A) ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain或 det( A) a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 13

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另外，如果 A, B 为同阶方阵，则 ：

det( A

B) det( A) det( B)定义2.3.7 (初等行变换) 对矩阵施行下列3

种变换：(1)交换第 i 行与第 j行的位置(记为 ri r j) (2)用非零数 k 乘第 i 行(记为 k ri ) (3)把第 i 行的 k 倍加到第 j 行上去(记为 k ri rj ) 分别称为矩阵的第1,2,3种初等行变换，统称《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 14

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为矩阵的初等行变换。

相应的，可以定义矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统

称为矩阵的初等变换。定义2.3.8 (初等方阵)对单位矩阵 I 实施一次

初等行(列)变换所得到的矩阵，称为初等方阵。因为初等行(列)变换只有三种，所以初

等方阵也只有三种，它们是：《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 15

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(1)交换单位矩阵 I 的第

i 行(列)与第

j 行(列)之后的初等方阵，记为 p(i, j )(2)用非零数 k 乘单位矩阵 I 的第 i 行

(列)后的初等方阵，记为 p(i (k ))(3)把单位矩阵 I 的第 i 行(列)的 k 倍加

到第 j 行(列)上之后的初等方阵，记为 p(i(k ), j )容易验证，3种初等方阵的行列式都不为零。 下面定理说明了初等方阵与初等变换的关系：《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社 16