博弈论纳什均衡存在定理Ⅱ的两种证明方法的分析及设想

博弈论很早就在国外备受关注,国内对此方面的研究也发展得很快,而其中纳什均衡存在性定理Ⅱ是博弈论中应用最广泛的定理之一,尤其是在经济领域。本文就它的两种证明方法进行分析和设想,有助于将来对此方面的研究。

维普资讯 http://

辽宁科技学院学报文章编号：0 8— 7 3 2 0 )4— 0 4— 2 10 3 2 ( 0 7 0 0 2 0

第9卷

博弈论纳什均衡存在定理 I的两种证明方法的分析及设想 I张莉(京工业职业技术学院，京 10 4 )北北 00 2

摘要：弈论很早就在国外备受关注，博国内对此方面的研究也发展得很快，而其中纳什均衡存在性定理 I是博弈论中应 I用最广泛的定理之一，尤其是在经济领域。本文就它的两种证明方法进行分析和设想，有助于将来对此方面的研究。关键词：弈；什均衡存在性定理；会均衡；析；想 .博纳社分设 ‘

中图分类号： 1 08

文献标识码： A距离为 P如果是 G的一个，)均衡。一

0序言 .纳什 (, .N s,15,15 ) JF ah 9 0 9 1在冯 诺依曼和摩根斯特恩的帮助和支持下( ao H r dw、K h, 97 20在非合 l un 19, 0 5)作博弈理论中提出、证明了被后人称为纳什均衡的存在并性。纳什均衡存在性定理的证明有很多科学家研究过，的有又长又难懂，随后就有很多的文献来研究它的证明方法，本文在以往工作的基础上，对定理 I的两种证明进行讨论， I分析，并谈一下设想。

均衡，则是 G的一个 (+

命题1{ . 5= ,

C, A

=, :满 F△若{ e是

足对每个≥O使得是 G的一均衡的一个系列，i m则 F是 G的一个 s一均衡。特别地，当=0时， F是 G 的一个混合策略纳什均衡。

命题 16设 G:, . “

是连续博弈， VP,对>0则存，使得 P““<。 (,) p

在一个本质上有限得博弈 G={.“ s,混合策略纳什均衡。

1预备知识 .令 D是△的一切子集构成的集族， . D就是△上的一

定理Ⅳ: G={“ 5,.是连续博弈， G至少存在一个 则

个离散拓扑结构。利用吉洪诺夫 ( N O O )理， TX H B定具 2纳什均衡存在定理，的证明方法 .,有拓扑 D的拓扑空间△是紧空间 .△是尺且中子证明方法

集，因此得到： 命题 1 1 A是紧的 H ud r空问， . a sof f它是尺的非空紧凸子集。

方法一：

范一格里克斯伯格定理：设

是拓扑空间的非空紧凸子

集，: F

是集值映射，如果 F在上上半连续，且对任何

命题 12 ( )=(l P . 1P P, ……j是 G的一 ) )个混合均衡，当且仅当对每个∈N( l, -) ( ,,=1……m P P ≥ S. )P- 1“ 1,

∈T F(都是非空的闭凸子集，, )则存在∈T使得‘∈F,( )即是 F的不动点。现在， ,由命题 1 1△=I△ ., I 即混合策略组合集是通常拓扑空间 R m=∑: ) ( 的非空紧凸子集； Y△, ( ):I对 p∈ V p I ( )△, P它是△到△的集映映射即 V△: j△;利用命题 13 4, . ( )可知 ( ) i J) P (∈7是、 r非空的闭凸子集，而， Yp∈△, ( )从对 V p是非空的闭凸子集。 的紧子集是有界闭集，可知 (是△的紧子集，: j△△) V△是闭集映(即的图象 Ga ( ) rp V是积空间△X△的闭子集)从，而由二可用闭性描述上半连续性的特性，们得出在△上我

( )是 G的一个混合均衡， 2P当且仅当P ( )×…× ( )=1iN ( )∈ P P - e P I

命题 13设 P (, .= p一一 EN对 P∈ S“△, ∈S,.

紧集在连续映射下的象集是紧的，且欧几里得空间， p ) ()…, ∈ P,再根据，

( )则最优混合策略是局中人以正概率选取相 1

应纯策略的概率分布构成的混合策略；

()>, (,一≥ ,一) 2p 0则有 P (: P, ) K= 1,,… m

是上半连续的。这样，△△满足范一格里克斯伯格定理 :

的假设条件，因此，存在 P∈△,得 P使∈V P。于是由 ( )命题 12 2知 P . ()是 G的一个纳什均衡。方法二：

( )对 V,一1…,, 3 K , n只要 p>,>,: 0p 0就有 (,一)= (,一)= P P一) s P P ( i ( ) g 1… . , ( )={∈g 4记={, m} g P : P>} i 0,

由纳什均衡存在性定理 1即在博弈 G={“)中，,, f 局中人集 N={,} 1…n是有限的， s(∈J)是有限策略且。i

7都、 r集， G至少存在一个纳什均衡。以及命题 16中的对 G存则 .,可知 G存在混合策

{:} e

M( ) K≠,有 C ( )= O在一个本质上有限的博弈 G={“ p且 则 P C s, ( ) V( )凸集。 P且 iP是 略纳什均衡。

命题1 4设两(望 ) .期支付函数组合 与的收稿日期：07—1 2 20 0—1

又由命题 16 .中P““= s l ) u()< =(,) (一 js l P us和命题 14, .知道 G对 Vp> 0存在它的一个一均衡。再利用命题 15, .只要取 P= 2一均衡的一个系列， z s/且 =F

作者简介：张莉( 92一)女， 18,首都师范大学应用数学数理经济在读硕士，助理讲师。

∈△,那么 F是 G的一个混合策略纳什均衡。所以纳什均衡存在性定理，得证。,