常见抽象函数的单调性与奇偶性

常见

1.已知f(x y) f(x y) 2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0) 0,求证f(x)为偶函数。 2.奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1 m) f(1 m2) 0的实数m的取值范围。

3.如果f(x)=ax2 bx c(a>0)对任意的t有f(2 t) f2 t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小

4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x

＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 5. 已知函数f（x）对任意＝5，求不等式

，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）的解。

，使得

，对任何x和y

，

6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在成立。求：

（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（

x）值的正负。

7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②

＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

；③f（2）

8.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）； （2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

9.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

10. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当

是定义域中的数时，有

；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

11. 已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当

。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若

，求a的取值范围。

12. 设f(x)定义于实数集上，当在R上为增函数。 13.已知函数奇偶性。

时，

，且对于任意实数x、y，有

都有

，求证：，试判断函数f(x)的

时，

对任意不等于零的实数

常见

14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。 判断f(x)的单调性；

15. 设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值.

16.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。

17. 已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1 x2) f(x1) f(x2)，且当x 1时f(x) 0,f(2) 1，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式f(2x2 1) 2 18.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－

12

12

)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：

f(x)是单调递增函数；

19.定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

20. 已知函数f(x)(x R，x 0)对任意不等于零的实数x1、x2都有f(x1 x2) f(x1) f(x2)，试判断函数f（x）的奇偶性。

21. 已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足 1 f(x y) f(x)是奇函数。

22. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 23. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

25. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有

(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式：f(x+

12

f(a) f(b)a b

f(x)f(y) 1f(y) f(x)

，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：

＞0.

)＜f(

1x 1

);