解三角函数题缩角四法

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解题思路与方法

解三角函数题缩角四法

王德昌

(湖北省武汉市华中科技大学附中,430074)

角是三角函数问题中最活跃的元素.在处理三角函数问题时,常常由于对角的范围的挖掘不到位,而导致解题错误.事实上,角的范围,决定着三角函数的取值.反过来,三角函数的取值又决定着角的范围.为防止解题失误,应挖掘题目中的隐含条件,对题目中所涉及的角的范围进行必要的缩小.本文通过对几道三角问题的典型错解的剖析,介绍缩小角的范围的四种常用方法.

1.运用三角函数值的符号缩小角的范围在各个象限内,三角函数取值符号具有确定性.通过分析题目中或解题过程中得到的三角函数值的符号,可确定相应角所在的具体象限.

例1 已知tan ,tan 是方程x+3+4=0的两根, ,

,求 + .-,22

2

2.运用三角函数线或三角函数图象缩小角的范围

三角函数线和三角函数图象是三角函数值的直观表示,在解决三角函数问题时,可充分借助三角函数线或图象缩小角的范围.

例2 已知sinx+cosx= ),求cos2x的值.

错解 将sinx+cosx=

sin2x=-2

2

1

(0<x<5

1

两边平方得5

2425

由sin2x+cos2x=1,得cos2x=#

1-sin2x=#

725

剖析 画出函数y=sinx+cosx=x+

的图象,观察图象得4

时,1 sinx+cosx 2

错解 由题意得tan +tan =-3tan !tan =4.

tan( + )=又由 ,

-tan +tan

=

1-tan tan ,得2当0<x 当当

3 <x 时,0 sinx+cosx<1;243

<x< 时,-1<sinx+cosx<0.4

1

[0,1),故5

+ (- , ).

+ =-2

或.33

应有

而本题中,sinx+cosx=

3 3

<x ,从而 <2x 242 cos2x<0,从而cos2x=-7

25

剖析 事实上由tan +tan =-3与tan !tan =4可得tan <0,tan <0,从而 , 均在第四象限,即 , + (- ,0),所以 + =-

-,,22 3

本题也可以先求出sinx,cosx再由cos2x=cosx-sinx求得结果.

3.利用三角函数的单调性缩小角的范围借助三角函数的单调性,通过比较待求

2

2

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角与已知角(特殊角)的同名三角函数值的大小关系得待求角与已知角(特殊角)的关系,实现缩小待求角的范围的目的.

例3 在 ABC中,sinA=5

,求sinC的值.13

错解 由C= -(A+B),得sinC=sinAcosB+cosAsinB.由sinA=由cosB=

34,得cosA=#55512得sinB=1313

345

cosA=,cosB=,5513

3

cosB=5

错解 将sin -sin =-cos =又 ,

1

cos -2

1两式平方相加得:cos( - )=220,-,所以 < - <22

.3

1

还可以进2

- =#

剖析 由sin -sin =-

一步缩小 - 的范围,事实上,由sin -sin =-1

<0得sin <sin ,由函数y=2

< - <0,所以 - =-23

当sinA=

1263

sinB=时sinC=.

1365

当sinA=sinB=

345

,cosA=-,cosB=,5513

sinx的单调性得 < .

故-

4.借助三角形中角的范围和角的关系例5 在锐角 ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对应的边,若C=2B.求范围.

错解 因为C=2B,由正弦定理知csinCsin2B

===2cosB.bsinBsinB又 ABC为锐角三角形,则0<B<

c

=2cosB (0,2).b

2c

的取值b

1233时sinC=-.1365

6333

或-6565

4

能成立吗?事实上,5

综上,sinC=

剖析 cosA=-由cosB=

51 <=cos得B>13233

441

则由cosA=-<-552

若cosA=-

2 2

=cos得A>.于是A+B> ,不可能.

33

44

本题也可取cosA=,cosA=-分别

55代入sinAcosB+cosAsinB得sinC的值分别6333

为和-由0<C< ,必有sinC>0,所656533以应舍去-.

65

例4 已知 ,

0,

,且sin -sin剖析 应根据三角形中角的范围和题目中角的相互关系进一步缩小角B的范围.由 ABC为锐角三角形,知

0<B<

0<C=2B<22

.2

0<A= -3B<解上述不等式,得答案为

<B<.故正确64

1 =-cos -cos =,求 - 的值.

22

c

=2cosB ().b

19!