中值定理与导数的应用 习题

高等数学 中值定理与导数试题

第九节 方程的近似解

习题 3-9

1. 试证明方程x3+1.1x2+0.9x 1.4=0在区间(0,1)内有唯一实根, 并用二分法求此根的近似值, 使误差不超过10 3.

解 令f(x)=x3+1.1x2+0.9x 1.4, 则在[0,1]上有

f(0)= 1.4<0,f(1)=1.6>0,f′(x)=3x2+2.2x+0.9>0,

由零点定理及函数的单调性可知, 方程f(x)=0在区间(0,1)内有唯一实根ξ. 用二分法求此根近似值的过程如下：

ξ1=0.5,f(ξ1)= 0.55,a1=0.5,b1=1;

ξ2=0.75,f(ξ2)=0.3156,a2=0.5,b2=0.75;

ξ3=0.625,f(ξ3)= 0.1637,a3=0.625,b3=0.75;

ξ4=0.6875,f(ξ4)=0.0636,a4=0.625,b4=0.6875;

ξ5=0.6563,f(ξ5)= 0.0528,a5=0.6563,b5=0.6875;

ξ6=0.6719,f(ξ6)=0.0046,a6=0.6563,b6=0.6719;

ξ7=0.6641,f(ξ7)= 0.0243,a7=0.6641,b7=0.6719;

ξ8=0.6680,f(ξ8)= 0.0099,a8=0.6680,b8=0.6719;

ξ9=0.6700,f(ξ9)= 0.0024,a9=0.6700,b9=0.6719;

ξ10=0.6710,f(ξ10)=0.0013,a10=0.6700,b10=0.6710.

于是0.670<ξ<0.671. 若以a10或b10作为ξ的近似值, 其误差必小于

11 =<10 3. (10)1010242

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高等数学 中值定理与导数试题

2. 试证明方程x5+5x+1=0在区间( 1,0)内有唯一实根, 并用切线法求此根的近似值, 使误差不超过0.01.

解 令f(x)=x5+5x+1, (f 1)= 5<0,f(0)=1>0, 且在( 1,0)上有

f′(x)=5x4+5>0,f′′(x)=20x3<0,

由零点定理及函数的单调性可知, 方程f(x)=0在区间( 1,0)内有唯一实根ξ.

用切线法求此根近似值时, 由于f( 1)与二阶导数同号, 所以取x0= 1, 迭代 过程如下：

x1=x0

x2=x1

x3=x2 f(x0)= 0.5, f′(x0)f(x1)= 0.2118, ′f(x1)f(x2)= 0.1999, f′(x2)

f(x3) x4=x3 = 0.1999. f′(x3)

可见, x4=x3= 0.1999, 停止迭代. 经计算得f( 0.1999)>0,f( 0.2)<0, 从而方程的根ξ满足 0.2<ξ< 0.1999. 若以 0.2或 0.1999作为ξ的近似值, 其误差都不超过0.01.

3. 求方程xlnx=1的近似根, 使误差不超过0.01.

解 令f(x)=xlnx 1, 则在[1,e]上有

f(1)= 1<0,f(e)=e 1>0,f′(x)=lnx+1>0,

由零点定理及函数的单调性可知, 方程f(x)=0在区间(1,e)内有唯一实根ξ.

用二分法求此根近似值的过程如下：

ξ1=1.8591,f(ξ1)=0.1529,a1=1,b1=1.8591;

ξ2=1.4295,f(ξ2)= 0.4891,a2=1.4295,b2=1.8591;

ξ3=1.6443,f(ξ3)= 0.1823,a3=1.6443,b3=1.8591;

ξ4=1.7517,f(ξ4)= 0.0180,a4=1.7517,b4=1.8591;

ξ5=1.8054,f(ξ5)=0.0666,a5=1.7517,b5=1.8054;

ξ6=1.7786,f(ξ6)=0.0241,a6=1.7517,b6=1.7786;

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ξ7=1.7652,f(ξ7)=0.0030,a7=1.7517,b7=1.7652; ξ8=1.7585,f(ξ8)= 0.0075,a8=1.7585,b8=1.7652.

于是1.7585<ξ<1.7652. 若以a8或b8作为ξ的近似值, 其误差必小于

1(e 1)≈0.0067<0.01. 28

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