浙大四版概率论与数理统计《样本及抽样分布习题课》

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第六章

样本及抽样分布习题课

一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题

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一、重点与难点

1.重点

(1) 正态总体某些常用统计量的分布. (2) 临界值的查表计算.

2.难点

(1) 几个常用统计量的构造. (2) 标准正态分布和F分布临界值的查表计算.

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二、主要内容

总体

样本 个体 常 用 统 计 量 的 分 布

2 分布

t 分布 F 分布

性 质

关 于 样 本 和 方 差 的 定 理

统计量

常用统计量 概率密度函数

分位点

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总体

试验的全部可能的观察值称为总体.

个体

总体中的每个可能观察值称为个体.

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样本

设 X 是具有分布函数F 的随机变量, 若 X 1 , X 2 , , X n 是具有同一分布函数F、相互独立的 随机变量, 则称 X 1 , X 2 , , X n 为从分布函数 F (或总体 F、或总体 X ) 得到的容量为 n 的简单 随机样本, 简称样本.

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统计量

设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个样本, g ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 X 1 , X 2 , , X n 的函数, 若 g中 不含未知参数, 则称 g ( X 1 , X 2 , , X n ) 是一个统 计量.

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常用统计量

1 n (1)样本平均值: X X i . n i 1

(2)样本方差: n n 1 1 2 2 2 2 X i nX . S ( Xi X ) n 1 i 1 n 1 i 1

(3)样本标准差:

S S2 1 n 2 Xi X . n 1 i 1

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常用统计量

1 n k (4)样本 k 阶(原点)矩: Ak X i , k 1, 2, . n i 1

(5)样本 k 阶中心矩: 1 n Bk ( X i X ) k , k 2, 3, . n i 1

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常用统计量的分布(一)

分布

2

设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (0, 1) 的样

2 2 本, 则称统计量 2＝X 12 X 2 X n 服从自

由度为 n 的 2 分布, 记为 2 ~ 2 ( n).

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2 分布的性质

性质1 ( 分布的可加性)

2

2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).

性质2 ( 分布的数学期望和方差 )

2

若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.

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常用统计量的分布(二)

t 分布 2 设 X ~ N (0, 1), Y ~ ( n), 且 X , Y 独立, X 则称随机变量 t 服从自由度为 n 的 t Y /n 分布, 记为 t ~ t ( n).

t 分布又称学生氏(Student)分布.

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常用统计量的分布(三)

F分布

设 U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n2 ), 且U , V 独立, U / n1 则称随机变量 F 服从自由度为( n1 , n2 ) V / n2 的 F 分布, 记为 F ~ F ( n1 , n2 ).

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常用统计量的概率密度函数

2 ( n)分布的概率密度为

n y 1 1 2 2 y e , n 2 n f ( y) 2 2 0

y 0,

其他.

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常用统计量的概率密度函数

t ( n) 分布的概率密度函数为

n 1 n 1 2 2 t 2 h( t ) 1 , t . n n πn 2

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常用统计量

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