高等数学2-4隐函数+对数求导+参数方程的导数+相关变化率(应用,如灌水速率)

复习高阶导数的直接求法： 逐阶求导然后归纳 高阶导数的间接求法：利用已知的高阶导数公式

(sin x )

( n)

sin( x n n

2

)

(cos x )

( n)

π cos( x n ) 2

1 1 x

( n)

n! ( 1) (1 x ) n 1

( a x )( n ) a x lnn a ( a 0)

( x )( n) ( 1) ( n 1) x n

(注意 n 的情况)

高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式

1 y b ax

y ( n)

1 b ax

( n)

( 1)n n! n a n 1 (b ax)

y ln(b ax ),

y( n ) a

( 1) n 1 ( n 1)! n

ax b

n

sin(ax b)

( n)

a sin(ax b n n n

2

) )

cos( ax b)

( n)

a cos( ax b n

2

[e sin bx ]

ax

( n)

a b2

2

en

ax

sin( bx n )b ( arctan ) a

y x a e bx 或者 y x a sin( ax b) 用莱布尼茨公式1 y 2 , 进行因式分解，化成一次的形式 ax bx c

y sina x cosb x, 高阶的三角函数，降幂处理

第四节 隐函数及由参数方程 确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数

四、相关变化率

一、隐函数的导数定义: 由方程 F ( x, y) 0 所确定的函数 y y( x )称为隐函数

y f ( x ) 的形式称为显函数F ( x, y) 0 y f ( x ) 隐函数的显化 1 如： 3 x 5 y 1 0 y 1 3 x 5

问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 如 xy e e 0x y

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 1) 求由方程 xy e x e y 0 所确定的隐函数 ydy dy 的导数 , dx dxx 0

.

解 方程两边对 x 求导得： y x dy e x e y dy 0dx dx

dy e x y , 解得 y dx x e

由原方程知 x 0 时，y 0,x 0 y 0

dy dx

x 0

ex y x ey

1.

例1 2)

设 y y( x ) 由方程 e y xe f ( y ) 确定， f 二阶可导， f 1, 求 y .

解 方程两边对 x 求导: e y y e f ( y ) xe f ( y ) f ( y) y

1 e f ( y) 故 y y f ( y) x[1 f ( y )] e xe f ( y ) [1 f ( y)] xf ( y) y y x 2 [1 f ( y)]2 x[1 f ( y )]2 xf ( y) x 3 [1 f ( y )]3

例1 3)

设 y y( x ) 由方程 sin( x 2 y2 ) e x xy2 0 确定, 求 y .

解

) e x y2 2 xyy 0 cos( x y ) (2 x 2 yy2 2

y 2 e x 2cos( x 2 y 2 ) dy 2 2 2 y cos( x y ) 2 xy dx

例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y3 3 xy, 求过 C 上3 3 一点 ( , ) 的切线方程，并证明曲线 C 在该点的法 2 2

线通过原点. 解 方程两边对 x 求导: 3x 2 3 y2 y 3 y 3xy y 3 3 ( , ) 2 2

y x2 2 y

x

3 3 ( , ) 2 2

1.

3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2

例3 设 x 4 xy y4 1, 求 y 在点(0,1) 处的值.

解

方程两边对 x 求导: y xy 4 y 3 y 0 4x3

(1)1 ; 4

代入 x 0, y 1得

y

x 0 y 1

方程(1) 两边再对 x 求导得12 x 2 2 y xy 12 y2 ( y ) 2 4 y3 y 0代入 x 0, y 1, y x 0 y 1

1 得 y 4

x 0 y 1

1 . 16

思考题设 y x e x , 求其反函数的导数 .方法1 d y 1 e x 解:dxdx 1 1 dy y 1 e x

方法2 等式两边同时对 y 求导dx x dx 1 e dy dy dx 1 dy 1 ex

二、对数求导法( x 1) 3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .

方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:u( x )v ( x ) 的情形. 多个函数相乘和幂指函数

( x 1) 3 x 1 , 求 y . 例4 设 y 2 x ( x 4) e

解 等式两边取对数得1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2ln( x 4) x 3

上式两边对 x 求导得：y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4( x 1) 3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x ( x 4) e x 1 3( x 1) x 4

例5 设

y x sin x ( x 0), 求 y .

解

等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对 x 求导得：1 1 y cos x ln x sin x y x

1 y y(cos x ln x sin x ) x xsin x

sin x (cos x ln x ) x

一般地f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)

ln f ( x ) v( x ) ln u( x )d 1 又 ln f ( x ) f ( x ) dx f ( x)

f ( x ) f ( x ) v x ln u x f ( x ) u( x )v( x )

v ( x )u ( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )

sin x x 例6 1) 设 y x (sin x ) ( x 0), 求 y .

2) 设 y x ( x 0), 求 y .xxx y 3) 设 y x ( x 0), 求 y .