解析几何常用公式定理

解析几何常用公式（景斌汇编）

（内部资料仅限东方之子学校学生使用）

1.倾斜角（0 180 ）

2.斜率（刻画直线对于x轴的倾斜程度） （1）k tan ( 90 )(2)k

y1 y2

x x1 x2 1 x2

【tan 在(0, 2

)、(

2, )上单调递增】

3.直线的方程：

（1）斜截式：y kx b（不能表示斜率不存在的直线x x ） （2）点斜式：(y y0) k(x x0)（不能表示斜率不存在的直线x x ） （3）两点式：y y1x x1

y

x（不能表示x x ,y y0两种直线） 2 y1x2 1

（4）截距式：

xa y

b

1 （不能表示y=kx，x x ,y y0三种直线） （5）一般式：Ax By C 0（其中A、B不同时为零） 4.两直线位置关系的判定与性质定理列表如下：

5. 到角和夹角：

设l:y k1x b1,l:y k2x b2，

（1） 到角(0, )：l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角

当k1，k2都存在且k1k2 －1时，lk2 k1

1到l2的角为 ，则tan

1 k；

1k2

1

（2）夹角(0,]：l1和l2相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，简称夹角

2

当k1，k2都存在且k1k2 －1时，l1与l2的夹角为 ，则tan

6.点到直线的距离公式

点P x0,y0 到l:Ax By C

0的距离d 7.平行线间距离公式

两平行线Ax By C1 0与Ax By C2

0之间的距离为d

k2 k1

1 k1k2

.

8.若A(x1,y1),B(x2,y2)，P（x，y）P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 ，

x APx x1y y1

定比 ，则

x xy yPB22 y

x1 x2

1

y1 y21

9.两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB (x2 x1)2 (y2 y1)2 特别地：AB//x轴， 则 x1 x2 AB//y轴， 则 y1 y2 10.直线系方程

（1）平行直线系Ax By C 0与Ax By C1 0 （2）垂直直线系Ax By C 0与Bx Ay C1 0

（3）过已知点的直线系A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0（不包括A2x B2y C2 0） 11.线性规划

（1） 二元一次不等式表示平面区域

如果Ax0 By0 C 0（A>0）则点(x0,y0)在直线右侧；如果Ax0 By0 C 0（A>0）则点(x0,y0)在直线左侧；如果Ax0 By0 C 0（A>0）则点(x0,y0)在直线上

（2）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，统称为线性规划；满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域 12.圆

（一）圆方程常见形式：

（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2（R>0），其中（a，b）为圆心，r为半径；

2

D2E2（2）一般式：x+y+Dx+Ey+F=0,配方得：

(x ) (y )

224

2

2

x rcos a

（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为： ， 为参数 [0,2 )

y rsin b圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为： （1）二次项中无xy交叉项； （2）x2，y2项前面系数相等；

（3）x，y的一次项系数D，E及常数项F满足D2+E2-4F>0

（二）直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种

若d

Aa Bb CA2

B

2

，d r 相离，d r 相切，d r 相交

（三）圆与圆的位置关系

圆C1：(x a21)2 (y b1)2 r1 圆C2：(x a22) (y b2)2 r22 （1）C1C2 r1 r2相离 （2）C1C2 r1 r2外切

（3）r1 r2 C1C2 r1 r2 相交 （4）C1C2 r1 r2内切 （5）C1C2 r1 r2 内含

外离 外切

相交 内切

3

内含

13圆锥曲线

（一）椭圆与双曲线 1.第一定义

椭圆：若F1 F2是两定点，P为动点，且PF1 PF2 2a F1F2 （a为常数）则P点的轨迹

是椭圆（当PF1 PF2 2a F1F2时，则P点的轨迹是线段）

双曲线：若F1 F2是两定点，PF1 PF2 2a F1F2（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线

（当PF1 PF2 2a F1F2时，则P点的轨迹是射线）

2.第二定义

椭圆：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0<e<1），

则P点的轨迹是椭圆

双曲线：若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线 3.

4

4.

5.(1) 椭圆：PF1 a ex0或PF1 a ey0（负半轴）PF2 a ex0或PF2 a ey0（正半轴）焦半径范围a c PF a c

（2） 双曲线：PF ex0 a（长）PF ex0 a（短）焦半径范围PF c a 6.焦半径之积

椭圆： |PF2

222b2

(1)1||PF2| a ex0

1 cos

（2）双曲线：|PF22a2

2b2

1||PF2| ex0

1 cos

7.焦点三角形面积

S FPF11

12=2|F1F2||y0| 2|PF1||PF2|sin b2tan2（椭圆）

S F11

1PF2=2|F1F2||y0| 2|PF1||PF2|sin b2cot2（双曲线）

8.弦长公式：AB 1x2] 1y2]

5

9.补充知识：

1具有共同渐近线的双曲线系

x2y2x2y2b

若双曲线方程为2 2 1 渐近线方程：2 2 0 y x

aababxyxyb

若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2 2

abaab

2

2

x2y2x2y2

若双曲线与2 2 1有公共渐近线，可设为2 2

abab

（ 0，焦点在x轴上， 0，焦点在y轴上）

2等轴双曲线：当a b时 离心率e 2 两渐近线互相垂直，分别为y= x，此时双曲线为等

轴双曲线，可设为x2 y2

3.优美椭圆和优美双曲线

x2y2（1

）我们把离心率等于黄金比2 2 1 a b 0 为优美椭圆，

abF、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则有： 1 ABF 90 ; 2 b2 ac

x2y2（2

2 2 1 a b 0 为

ab优美双曲线，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的虚轴的一个端点，则有：

1 ABF 90 ; 2 b2 ac

3. 共轭双曲线：我们把“以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线”定义为原双曲线的

共轭双曲线

x2y2y2x2

2 1与2 2 1 2

abba

特征1：具有共同渐近线 特征2：焦距相等 特征3：

6

11

2 1 e12e2

（二）抛物线

（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线

即到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）

（二）图形：

（三）基本性质：方程：

y2 2px,(p 0),p为焦准距；

p

焦点： (,0) ，通径 2p；

2

p

准线： x ；

2

p

焦半径：CF x0 ,过焦点的弦长CD x1 x2 p通径最短

2

y

注意：抛物线y2 2px上的动点可设为P( ,y )或P(x ,y )其中y 2 2px

2p

2

（四）抛物线的重要性质：

已知AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1,y1)B(x2,y2)

p2

（1）y1 y2 p,x1 x2

4

2

（2）|AB|=x1 x2 p

p2

（3）S△AOB=

2sin

2p

( 为直线AB与x轴的夹角) sin2

（4）

211

为定值

PAFBF

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 （6） ADB 90 (直径所对的圆周角是直角) （7） A'FB' 90

（8）连接焦点和准线上任意一点的线段被y轴平分（三角形中位线）

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