第五章 应力状态分析

材料力学 Mechanics of Materials

第五章 应力状态和应变状态分析 本部分主要内容： 应力状态的概念 二向应力状态分析的解析法 二向应力状态分析的图解法 三向应力状态简介 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变比能

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

第一节 应力状态的概念1、单元体FA

F

dx dy dz

0

微元 单元体

dzA

单元体边长无穷小；应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。

dx

dy

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

2、应力的点的概念 回顾横力弯曲时横截面上点的应力:z F x正应力分布切应力分布中性层

y

xA B

考虑中性层上的A点的应力状态 考虑梁边缘上的B点的应力状态

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materialsz F x y

t t A tx

tsB

正应力分布切应力分布中性层

中性层上的A点

s

A B

正应力等于0,切应力最大 梁边缘上的B点

正应力最大，切应力为0

同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

3、单向拉伸斜截面上的应力qF

q

a

B

sa ta

单向拉伸斜截面上的应力为:sa F cos a A cos a F A cos a s cos a2 2

ta

F sin a A cos a

F A

sin a cos a

s2

sin2 a

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

4、应力的面的概念q

BA

即使同一点在不同方位截面 q 上，它的应力也是各不相同的， 此即应力的面的概念。A

s

s

sy tsxB

sx tt sy

t

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝

而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

5、应力状态的概念

应 力哪一个面上？ 哪一点？

指明

哪一点？ 哪个方向面？

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一 点的应力状态(State of the Stresses of a Given Point)。

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

6、主单元体、主应力与主平面sz sy sx sy sz sx 主单元体(Principle body): 各侧面上切应力均为零的单元体。 主平面(Principle Plane):

切应力为零的截面。 主应力(Principle Stress ):

主平面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小，

s 1 s 2 s

3

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

主应力排列规定：按代数值大小， 若sz sy sx sy sz sx

s x 100 MPa

s

y

120 MPa

s z 0 MPa

s 1 100 MPa s 2

0 MPa s 3 120MPa

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

7、单向、二向、三向应力状态三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态

s1

s1

F

A

F

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

三个主应力中有两个不等于0 二向(平面)应力状态z F x正应力分布切应力分布中性层

y

tx

A

t A t

t

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

三个主应力都不等于0 三向(空间)应力状态

sz sy sx sy sz sx

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

第二节 二向应力状态分析的解析法一、截面上的应力 二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况， 一般的单元体如图：sy tyx sx txy sy sxsx sy tyx sy

sx txy

上述方向均为正方向Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materialssy

tyx

研究任意斜截面的应力 通过截面外法线的方位定义截面的位置

sx

sa a tasy

nsx

dA

asx txy

sa a ta ttyx

n x

x

txy

Fn 0 Ft 0

sy s a d A s x d A cos a cos a t xy d A cos a sin a

s y d A sin a sin a t s y d A sin a cos a t

yx

d A sin a cos a 0

t a d A s x d A cos a sin a t xy d A cos a cos ayx

d A sin a sin a 0

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

dA

Fn 0 Ft 0

s a d A s x d A cos a cos a t xy d A cos a sin a s y d A sin a sin a t yx d A sin a cos a 0 t a d A s x d A cos a sin a t xy d A cos a cos a s y d A sin a cos a tyx

d A sin a sin a 0

asx txy

sa a ta tsy tyx

n x

对以上两个式子进行数学整理，可得到任意 斜截面上的正应力和切应力的一般公式:s x s y2

sa

s x s y2

cos2a t xy sin2 a

ta

s x s y2

sin2 a t xy cos2a

Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。

材料力学 Mechanics of Materials

二、应力极值sa s x s y2

s x s y2

cos2a t xy sin2 a

sa和ta随着a的变化而 变化，是a的函数，对a求导数可得到其极值。

ta ds a

s x s y2

sin2 a t xy cos2a

s x s y 2 sin2 a t xy cos2a da 2

若a a0时，导数为0tan2 a 0 - 2t xy

s x s y2

sin2 a 0 t xy cos2a 0 0

s x s y

通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0,它们确定两个相互 垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最 小正应力所在平面。Time is a versatile performer. It flies, marches on, heals all wounds, runs out and will tell.时间是个多才多艺的表演者。它能展翅飞翔，能阔步前进，能治愈创伤，能消逝而去，也能揭示真相。