第六节 旋转曲面和二次曲面

高等数学(第三版)下册 课件

一、旋转曲面定义2. 定义 . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线 定直线旋转 定直线 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 旋转曲面. 旋转曲面 旋转 轴 . 例如 :

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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) = 0 若点 M1(0, y1, z1) ∈C, 则有

z

f ( y1, z1) = 0当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有M (x, y, z)

CM1 (0, y1, z1 )

z = z1,

x + y = y12 2

o

y

故旋转曲面方程为

x

f ( ± x2 + y2 , z) = 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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思考： 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

z

C : f ( y, z) = 0

o x

y

f ( y, ± x + z ) = 02 2

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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为

zL

绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

α

M(0, y, z)

y两边平方

x2

z =a (x + y )2 2 2

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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为

分别绕 x

x y +z =1 2 2 a c2 2 2

绕 z 轴旋转所成曲面方程为

x +y z 2 =1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.2 2 2x

y

z

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二、二次曲面三元二次方程

Ax2 + By2 + Cz 2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面 其基本类型有: 二次曲面. 二次曲面 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法机动 目录 上页 下页 返回 结束

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1. 椭球面

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 ( a, b, c为正数) 2 a b c(1)范围：

x ≤ a,

y ≤ b,

z ≤c y2 z 2 + =1 , b2 c2 x =0 x2 z2 + =1 a2 c2 y =0

(2)与坐标面的交线：椭圆

x2 y2 + =1 , a2 b2 z =0

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x2 y2 z 2 + 2 + 2 = 1 ( a, b, c为正数) 2 a b c(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆：

xa c22

2

(c2 z12 )

+

yb (c2 c22

2

z

z12 )

=1

z = z1同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a=b 时为旋转椭球面; 当a=b=c 时为球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束

的截痕

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2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面

z2

x y + = z ( p , q 同号) 2p 2q特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面(鞍形曲面) z

2

y

x y + = z ( p , q 同号) 2p 2 q

2

2

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y结束

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3. 双曲面 (1)单叶双曲面 (1)单叶双曲面

z2

x y z + 2 2 = 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 z = z1 上的截痕为 椭圆.平面 y = y1上的截痕

情况:

2

2

x

y

1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:a c y = y12 y1 x z 2 = 1 2 2 2 2

b

(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴)

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2) y1 = b 时, 截痕为相交直线: x z ± =0 a c y = b (或 b) 3) y1 > b时, 截痕为双曲线:a c y = y1 y12 x z 2 = 1 2 22 2

z

x

y

z

b

<0

x

y

(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴)

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(2) 双叶双曲面

z

x2 y 2 z 2 + 2 2 = 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 平面 y = y1 上的截痕为 双曲线

平面 x = x1 上的截痕为 双曲线

o x

y

平面 z = z1 ( z1 > c)上的截痕为 椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:2 2 2

+ 2 2= 1 双叶双曲面 a2 b cP18 目录

x

y

z

1 单叶双曲面

图形

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4. 椭圆锥面

z

z

x y + 2 = z 2 ( a, b 为正数) a2 b 在平面 z = t 上的截痕为椭圆 2 2 x y + = 1, z = t ① (at)2 (bt)2

2

2

o

x x

y y

在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 )机动 目录 上页 下页 返回 结束

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5.柱面 5.柱面引例. 引例 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上，

zM

表示圆C, C o M1 在圆C上任取一点 M1(x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x, y, z) 的坐标也满足方程 x2 + y2 = R2

y

l

沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 圆 柱面. 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 圆柱面 x + y = R 表示圆柱面2 2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义3. 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面 C 叫做准线 l 叫做母线 柱面. 准线, 母线. 柱面 准线 母线 表示抛物柱面 抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.

zC

o xz

x y 2 + 2 = 1表示母线平行于 a b z 轴的椭圆柱面 椭圆柱面. 椭圆柱面 x y = 0 表示母线平行于 z 轴的平面 平面. 平面 (且 z 轴在平面上)

2

2

yz

oy

oy

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一般地,在三维空间

zy

方程 F(x, y) = 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴;准线 xoy 面上的曲线 l1.

x l1

zl 2y

方程 G( y, z) = 0 表示柱面,母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.

xzl3

方程 H(z, x) = 0 表示柱面,母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.

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y

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