随机信号分析基础(第5章习题讲解)

第3次习题课

第五章内容回顾 第五章习题解答

第五章内容回顾 线性系统的基本性质 随机信号通过线性系统 白噪声通过线性系统 随机序列通过线性系统

线性系统的基本性质 线性时不变系统y (t ) = x (t ) * h (t ) = ∫ x (τ )h(t τ )dτ ∞ ∞ ∞

= ∫ h(τ )x (t τ )dτ ∞

Y (ω ) = X (ω ) H (ω )传输函数的计算 稳定性与物理可实现性

随机信号通过线性系统 系统输出的均值 系统输出的均值mY = E[Y (t )] = m X ∫ h(τ )dτ ∞ ∞

系统输出的自相关函数 系统输出的自相关函数

RY (τ ) = R X (τ ) h( τ ) h(τ )若随机输入过程X(t)是平稳的， 若随机输入过程X(t)是平稳的，那么线性时不变系 X(t)是平稳的 统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。 Y(t)也是宽平稳的随机过程 统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。若输入是 各态经历过程，输出也将是各态经历过程。 各态经历过程，输出也将是各态经历过程。

系统输入与输出之间的互相关函数 系统输入与输出之间的互相关函数

R XY (τ ) = R X (τ ) h(τ )RYX (τ ) = RX (τ ) h( τ ) 系统输出的功率谱密度 系统输出的功率谱密度

RY (τ ) = R X (τ ) * h( τ ) * h(τ )

F2

GY (ω ) = H (ω ) H (ω )G X (ω ) = H (ω ) G X (ω )式中H(ω 是系统的传输函数 其模(绝对值) 是系统的传输函数， 式中 ω)是系统的传输函数，其模(绝对值)的平 方∣H(ω)∣2称之为系统的功率传输函数。 ω ∣ 称之为系统的功率传输函数。

系统输出的均方值或平均功率 系统输出的均方值或平均功率 1 ∞ 2 2 E[Y (t )] = RY (0) = ∫ ∞ G X (ω ) H (ω ) dω 2π 系统输入与输出之间的互谱密度 系统输入与输出之间的互谱密度

G XY (ω ) = GX (ω ) H (ω )GYX (ω ) = G X (ω ) H ( ω )

白噪声通过线性系统噪声带宽

随机序列通过线性系统一个q 一个q阶非递归滤波器Y j = b0 X j + b1 X j 1 + L + bq X j q = ∑ bi X j ii =0 q

输入白序列，输出的自相关函数 输入白序列， 2 q k σ X ∑ bi bi + k , k = 0,1, L, q RY (k ) = i =0 0, k>q

一个p 一个p阶递归滤波器Y j = a1Y j 1 + a 2Y j 2 + L + a p Y j p + X j = ∑ ai Y j i + X jp

k≠0 ∑ ai RY (k i ), i =0 RY (k ) = p a R (k i ) + σ 2 , k = 0 i ∑ i Y i =0p

i =0

2 RY ( p) 1 σ X L RY (0) RY (1) R (1) R (0) R (1) RY ( p 1) a1 0 L Y Y Y M = M M M RY (1) RY ( p) RY (1) RY (0) a p 0 L

习题5.8 5.16 5.23 5.27 5.31(1) 5.11 5.18 5.26 5.30

5.8 解：已知：

R X (τ ) = a + be2

τ

有关系式：p47

τ →∞2 lim R X (τ ) = m X = a 2 m X = ± a

E [ Y ( t )] = m X

∫ = ±a∫

∞ ∞ ∞

h (τ ) d τ e τ

0

dτ

a = ± = m Y (t )

5.11 解：先求出输入电压的自相关函数RX (τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[( X 0 + cos(2π t + Φ ))( X 0 + cos(2π (t + τ ) + Φ )] 1 1 = + cos 2πτ 3 2

→ G X ( ω ) R X (τ ) F T

所以：2π π G X (ω ) = δ (ω ) + [δ (ω + 2π ) + δ (ω 2π )] 3 2

系统所示的传函为：t 1 RC jω RC h(t ) = δ (t ) e , H (ω ) = RC 1 + jω RC

为求得输出的自相关函数，分别从时域和频 域可得两种方法。R Y (τ ) = R X (τ ) h (τ ) * h ( τ ) G Y (ω ) = H (ω ) G X (ω )2

从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计 算输出的自相关函数GY (ω) = H(ω) GX (ω)2

ω R C 2π π π = [ δ (ω) + δ (ω + 2π ) + δ (ω 2π )] 2 2 2 1+ω R C 3 2 22 2 2

1 4π 2 R 2 C 2 = × × π [δ (ω + 2π ) + δ (ω 2π )] 2 2 2 2 1 + 4π R C2π 2 R 2C 2 RY (τ ) = F 1[GY (ω )] = cos 2πτ 2 2 2 1 + 4π R C

5.16 解：由系统图可知：

Z ( t ) = [ X (t ) X (t T )]*U (t )= X (t ) *[δ (t ) δ (t T )]* U (t ) = X (t ) *[U (t ) U (t T )]

所以传函为：h (t ) = U (t ) U (t T )H (ω ) = F [ h ( t )] = TSa (

ωT2

)e

jω

T 2

(2)解：N0 2 2 ωT GY (ω ) = H (ω ) GX (ω ) = T Sa 2 22

1 E [ Z ( t )] = 2π2

∫

∞ ∞

G Y (ω ) d ω sin2

ωT2 dω 2

1 ∞ = ∫ ∞ 2 N 0 2π N0 T = 2

ω

5.18 解：已知微分器的传函：

H (ω ) = jω所以：G X Y ( ω ) = G X ( ω ) H ( ω ) = jω G X ( ω )G Y (ω ) = H (ω ) G X (ω ) = ω 2 G X (ω )2